第四集

配方法與二次函數的圖形

型一 : 二次函數的圖形 
型式 : y = a(x+h)² 
分析如上的型式, 假設我們由最基本的型式開始,即 y = ax², a 是常數. 則其圖形分析如下:
若 a > 0  , 所以無論x 的值為正或負 , y皆為大於0 (因為 x²   > 0)又因為此為偶函數(即 f(-x) = f(x) );所以,其圖形必為對稱於y軸的圖形. 而當|a|值越大則函數圖形的開口越小, why ? 如下圖所示: 

y = ax² , a > 0 

那如果如上的式子再加以變形如 y = a(x+h)² 的形式,則圖形又為何 ?
若 h > 0 , 則 y = a(x+h)² 與 y = ax²  比較如何 ?
a(x+h)²  可以將x+h視為一個新的變數 x' , 即原式可以變成y' = a(x')²  ; 其中, x' = x+h ;所以無論x為正或是負的 , 則 x+h > x , h > 0 故　y'　> y , ∀ x . 
那圖形會變成如何呢 ? 明顯地觀察到上圖, y = ax² 會與(0,0)有交點. 我們再考回顧如上的圖形, x' = x + h , 即若我們將x = -h 帶入其中,則y' = 0 .由圖形上的觀點,即由原點(0,0)向左偏移h個單位,則y的值會為0.故其函數圖形如下: 

同理,若y = a(x-h)²  ,圖形正好與上面圖形對稱於y軸,如下圖:

與y軸的焦點為(0,ah²) 

以上是分析x軸方向的值變化,所產生的圖形結果; 接著,考量y軸方向的變化量. 

若將y = ax² 加一個常數k , 即前式變成為 ax² + k . 分析該式如下: 

若 k = 0 ,即與y = ax² 相同無分析必要.

若 k ≠ 0 ,  k > 0  ; y = ax²  + k 比較y = ax² 與其之異同. 

 x = 0 , y = 0  , y = ax²

 x = 0 , y = k ;  k ≠ 0 and y = ax²  + k 

 所以明顯的觀察上式,以 x = 0 帶入兩式, 則差異為一個固定的常數k , 而k的正負值取決於其圖形上升k個單位或是下降k單位.所以圖形如下顯示: 

由上面的情形分析, 如果將y = ax²變化如下的形式,如下:

y = a(x ± h)² ± k 則可以歸納為如下的結果: (若 h, k > 0 )

y = a(x + h)² + k  , 即以原點(0,0)為中心,向左平移 h 個單位,再向上平移 k 個單位. (h > 0 , k > 0 )  

y = a(x + h)² + k  , 即以原點(0,0)為中心,向右平移 h 個單位,再向下平移 k 個單位. (h < 0 , k < 0 ) 

總之, 若 h ≠ 0 , k ≠ 0 ,則y = a(x + h)² + k　由原點平移√h²+ k² 個單位長. 而角度為 θ  = tan^-1 (k/h)

如何快速地作圖 ? 

有一個一元二次多項式 , y = ax²+bx+c 

1. 先判斷最高項次的係數, 若 a > 0 , 則此函數圖形的開口向上,則必有極小值 ;否則, a < 0 為開口向下有極大值. 

2. 將此式,化成y = a(x + h)² + k 型式;即使用配方法. 

3. 令 x = - h ( h > 0 ) , 求出 y = k (即為y = ax² 即由原點為中心向左及向上平移h及k 個單位) ; 即由x = 0 為對稱軸,向左移h單位到 x = - h 為對稱軸. 

4. 接著要描述圖形;即使用 新的對稱軸 任意的加或減一個常數n ,即x = -h+n 或 x = -h - n 並帶入式中求出其相對應的y值  (建議為左右對稱的做圖法,即 (h+n1, y(h+n1) ) , (h+n2, y(h+n2) ) , (h-n3, y(h-n3) ) , (h-n4, y(h-n4) )　四點. 

5. 取5 點, 即(±h,0) , (±h+n1, y(±h+n1) ) , (±h+n2, y(±h+n2) ) , (±h-n3, y(±h-n3) ) ,及 (±h-n4, y(±h-n4) ), 由(±h,0)平滑且有曲度地連接起來.

如何配方法 ?  

如果要描繪一個一元二次多項式 y = ax²+bx+c , 則必須要將其進行配方法 - 一元二次多項式配方法   

令 y = 0 , 則為 ax²+bx+c　一元二次多項式的與ｘ軸的交點.但是要如何判斷交點個數 ? 

利用配方法得到如下: 

可以看到等號左右兩邊式子,左邊為一個完全平方式,而右邊為一個常數式. 

 ∵a , b , c ∈ R , 所以右式的結果有三種情形,即 = 0, > 0 , and 0 < . 因為 4a²  > 0 ( ∵ a ≠ 0  ) , 所以只討論 b² - 4ac 的情況:

1. b² - 4ac = 0 , 即 ( x+b/2a)²  = 0 此圖形如上, 與x軸只交於一點,座標為(-b/2a , 0)為重根; 術語稱之為 相切. 

2. b² - 4ac > 0 , 即 ( x+b/2a)²  = b² - 4ac , 此時可以

令 b² - 4ac = ∆ , 則( x+b/2a)²  - ∆ = 0 , 利用因式分解,即可得到

兩個相異的實數根.此兩根為交於x軸的兩個交點((-b+√∆)/2a , 0 )及((-b−√∆)/2a , 0 ).   

3. ∆ < 0 , 假設 ∆ = k , k is a constant , 則 ( x+b/2a)²  = k ⇒ x+b/2a  = ± √k , ∴ x  = - b/2a ± √k ,  ∵ k < 0 ,  ∴  x  = - b/2a ± i √k' 

因為目前只討論實數的解, 所以x 的解不合需求, 故無解. 以幾何意義來說明,即無任何交點在x軸. 

以上為一元二次方程式之求根的公式. 

Again, 我們可令其兩根為 x1 , x2  ; x1 = (-b+√∆)/2a , x2 = (-b+√∆)/2a , 則　

x1+x2 = -b/a , x1x2 = c/a 

假設圖形截於X軸的交點有兩個(α,0) 及 (β,0) ;我們令兩點分別為A,B, 則期線段長為AB  且　AB  = | β - α | . 

 AB  ²  =  | β - α | ²  =  (β - α)²   =   (β + α)² - 4βα  = (-b/a)² - 4c/a =( b² - 4ac ) / a

Ex.假設一個一元二次多項式 y = ax²+bx+c , 其與 y軸交於(0,3), (4,0),(-1,0)求 

1) f(0) 

2) f(x) 的根

3) a,b,c為多少 ? 

To find two coordinates (4,0) and (-1,0) , then we can write above expression as below : 

y = a(x-4)(x+1) = a( x²  - 3x - 4 ) 

Again , we can get another new equation  3 = c ; that is , the constant term is 3 and we compare it with above expression , then obtain an equation  3 = -4a , a = -3/4 . ∴ y = -3/4 x² + 9/4 x + 3 .  

EX. 有一個一元二次多項式 y = -2x² + 4x + 6  ,試問其頂點與x軸相交成為三角形的面積為何 ? 

由提意,假設頂點座標為(a,b), 則我們可以將如上的方程式化簡為y = a(x+b)^{2 + k 的形式. 所以如上的式子必須使用配方法, 步驟如下:}  

^{y = -2x2 + 4x + 6} 

y = -2(x² - 2x + 1) + 8 

y = -2(x-1)² + 8 ; therefore , 頂點座標為(1,8) 且圖形的開口向下. why ? 

頂點意味著此函式圖形中y座標的最大值(當x為某值). why ? 

我們陸續求值,並觀察其座標的變化情形: 

x = 11 , y = -200 + 8 = -192

x = 101 , y = -20000 + 8 = -1992 

x = 1001 , y = -2000000 + 8 = -1999992 

.... 

觀察出來的結果,即當 x 越大時 ( x > 0 ) , y 值越小. 那 x =3 時 , y = 0  ; 接者, 當  x = 2 , y = 6 

            x = 1 , y = 8

            x = 0 , y = 6  

            x = -1 , y = 0 

            x = -2 , y = -10 

            x = -3 , y = -24

            .... 類推  

觀察一個結論,當 x =1 時, y= 8 , 此時 y值為最大.那問x的值如何求出來  ?  

基本上,在如上的函式作圖時已得知其性質,故令平方式為零,即可求出其極值點. 

觀察一個形式,若一元二次多項式可以分解為一種因式分解的形式,如下: 

y = a(x - r1)(x - r2) , 則令 x = r1  或 x = r2 皆可以使得y = 0 ; 故( r1 , 0 ) 及 ( r2 , 0 ) 為交x 軸的兩個交點. 而又因為其可以寫成 y = a(x ± h)² ± k 型式 , (h,k) 為其頂點. 而 x = h 為其函數中分垂線交於x軸的點為(h,0)將函數一分為兩個等面積的區域( 亦稱為對稱軸 ) ; 故 h = (r1+ r2)/2. 

又 ∵ (r1+ r2)/2 = - b/2a , therefore  r1+ r2 = -b/a .  

綜合以上心得 , 假設有三的座標點 (x1,y1) , (x2,y2) 及 (x3,y3) , 並且yi = yj = 0  ,  i ≠ j ; i , j ∈ {1,2,3} . 則此圖形必有兩點交於x軸此兩交點必為其多項式的兩個根,故可以分解為兩個因式a(x - xi )( x - xj) 的形式;而第三點必為頂點,所以可以寫成 y = a(x - xk)² + yk , 即可求出 a ; otherwise , 則必須假設 y = ax²+bx+c , 將三個座標帶入,求出a,b,c . 

一個一元二次多項式的說明 

進階閱讀 二次函式 

EX. 有一個一元二次多項式 y = ax² + bx + c , 其頂點為(-1,2) 且經過(0,4) 求 a+b+c 

已知其有一頂點座標為(-1,2), 則其上式可以寫成 y = a(x+1)² + 2 , 同時經過(0,4),則 4 = 0+0+c , c = 4 , 上式可以寫成 y = a(x² +2x + 1) + 2 = ax² +2ax + (a+2) , 所以  a + 2 = 4 , a = 2 得知 y =  2x² +4x + 4 , ∴ b = 4 .   

EX. 有一個一元二次多項式 y = 2x² +bx + c 及其頂點為(-1,3) , 求 b,c

已知頂點座標 (-1,3) 所以上式可以寫成  y = a(x+1)² + 3 型式. 展開為 y = ax^{2 + 2ax + a+3 可以藉由比較係數,得 a = 2 , 2a = b , c = a+ 3 , therefore , b = 6, c = 6} 

EX. There exists an equation  y = (a-1)x² -2x + 1 and it just intersects the x-axis at a point . Find a's value . 

Because the equation just intersects the x-axis at a point , then we can give an expression as below : 

(-2)² - 4(a-1) = 0 

4 - 4(a -1) = 0 

 therefore , a = 2 

Ex.一個一元二次多項式  , 其通過 (1,2) , (0,-7)  且對稱軸為 x =2 ,求此多項式. 

由題意,假設此多項式為 y = a(x-2)² + k ; 將(1,2) , (0,-7) 帶入式中可以求出 a , k  (自求)

Ex. a,b  x²  + 2x - 1 = 0 之二根，試求  a + b ,   ab  , a-b ,  a³ + b³ , √a + √b  , 

 及求 a² -2 , b² -2 為兩根的方程式.