1-1集合 (備份)

§1−1 集合的基本概念
集合論是在十九世紀後葉由 Boole(1815~1864)及 Cantor(1845~1918)所發展出來，Boole 為英國數學家及邏輯學家，他在西元 1854 年出版「An Investigation of  Laws of Thought」一書，被認為是符號邏輯方面，第一部有系統的著作。而 Cantor 生於俄國聖彼得堡(St.Petersburg)，其後全家移民到德國，Cantor 及其門徒在西元 1874 年到 1895 年間奠定了現代集合論的基礎，但是在他生前，德國數學界卻未能認識它的貢獻，晚年 Cantor 患有抑鬱症，最後死於精神療養院。

(甲) 集合及其表示法 

明確指定的某些對象看做一個整體，這個整體稱為集合，

組成集合的每個對象，稱為這個集合的元素

只含有限個元素個數的集合稱為有限集合，含有無限元素個數的集合稱為無限集合. 

集合的表示法：常用的集合表示法有列舉法與描述法
列舉法：把集合中的每個元素一一列舉出來，並寫在大括號內，那麼這種表示集合的方法稱為列舉法 

描述法：如果在大括號內寫出這個集合元素的一般形式，再畫一條豎線或冒號，而在豎線或冒號的右邊寫上這個集合元素的公共屬性，那麼這種表示集合的方法稱為描述法。即 {x|描述x的屬性} 

集合與元素的關係： 習慣上，一個集合常用大寫字母A、B、C、…表示，元素用小寫字母a,b,c,x,y,… 表示，如果x是集合A的元素，記為x∈A，讀做x屬於A；而符號x∉A表示x不是A的元素
習慣上，N、Z、Q、R分別代表全體自然數、整數、有理數、實數所成的集合

觀念一： 

集合的基本概念 

(1)集合：一群明確而可鑑別的東西所組成的群體，通常以大寫英文字母 A,B,C,……等表集合。 
(2)元素：集合中的每一個明確的事物，通常以小寫英文字母 a,b,c,……等表元素。 

集合之間的關係


(1)子集合 
一個集合中部份元素形成的一個集合，我們稱這樣的集合為原集合的子集合(部分集合)。

定義：
如果集合 A 內任一個元素都屬於集合 B，我們就稱 A 是 B 的子集，記做 A⊂B 或 B⊃A(讀作 A 包含於 B 或 B 包含 A)。若集合 A 中存在一個元素 a 使得 a∉B，那麼 A 就不是 B 的子集，記作 A⊄B (讀作 A 不包含 B)。
定義：集合的相等 
 設有兩個集合 A 與 B，若 A 的每一個元素均屬於 B(即 A⊂B)，且 B 中 

 的每個元素均屬於 A(即 B⊂A)，則稱集合 A 與集合 B 相等，記作 A=B

ex. A={3,5,5,1,1}、B={3,3,5,1} 根據定義 A=B。

從集合相等的角度來看，集合的元素是不考慮先後順序、重複次數的

 實數的子集合： 
 [a,b]={x∈R|a≤x≤b}(閉區間) 
 (a,b)={x∈R|a(開區間)
 (a,b]={x∈R|a}(半閉區間)
 [a,b)={x∈R|a≤x(半開區間)


 注意上述的符號均表集合，不需要再加{ }之符號。

觀念二： 

(1) 集合元素的特性： 

 無序性：集合中的元素可不考慮其排列的次序 {a,b,c}={a,b,c} 
 互異性：集合中的元素不可重複出現 {a,b,c,c}={a,b,c} 
 明確性：元素為明確的事物 


(2) 屬於∈ 與不屬於∉ 意義：聯結集合與元素的記號。

集合的交集與聯集： 

(a)交集的定義： 

由集合 A 與集合 B 的共同元素所組成的集合稱為 A 與 B 的交集，記作 A∩B，讀作 A 交集 B，即 A∩B={x|x∈A 且 x∈B}

若 A 與 B 沒有共同的元素，此時為了集合理論的完整，我們引入了空集合。 

空集合：我們稱不含任何元素的集合為空集合。記為φ或{ }
空集合是任何一個集合的子集合

(b)聯集的定義： 

由集合 A 與集合 B 的所有元素所組成的集合，記作 A∪B，讀作 A 與 B 的聯集。即 A∪B={x|x∈A 或 x∈B}

性質：設 A、B、C 為三個集合

(a) A⊂(A∪B)，B⊂(A∪B)。 
(b) (A∩B)⊂A，(A∩B)⊂B。 
(c) A∪B=B∪A，A∩B=B∩A。 
(c) 若 A⊂B，則(A∪B)=B，(A∩B)=A。 
(d) (A∪B)∪C=A∪(B∪C)。(A∩B) ∩C=A∩ (B∩C) 
(e) A∩φ=φ∩A=φ，A∪φ=φ∪A=A 

(f) (A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)。(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)

設A={2k+1|k∈Z}，B={4k+1|k∈Z}，請問 A和 B有何關係

若 k ∈ Z , A = { ... ,-3,-1,1,3, ... } , B = { ..., -3,1,5,9, ... } 
即 A 是奇數所乘的集合, B為除4但餘1的數所成的集合. A = {2k+1|k∈Z^e} ∪ {2k+1|k∈Z^o} ; Z^e : 偶整數 , Z^o: 奇整數 . B = {4k+1|k∈Z} = {2k+1|k∈Z^e} 所以 , B 是 A 的子集合 . 


設A={1,2,3}，請找出 A的所有子集合，並問A的子集合的個數

根據子集合的定義, 最少元素的子集合為空集合, 其符號為 Ø ;而最多元素個數的集合即為其本身,即A . 一一列舉如下: 

無任何元素的子集合

Ø 

只有一個元素的子集合

{1},{2},{3}

有兩個元素的子集合

{1,2},{2,3},{1,3} 

有三個元素的子集合

{1,2,3} 

其總和為 1+ 3+ 3+ 1 = 8 個

A={ {},1,{1},{2,3} }下列敘述何者正確

(A) {}∈A 

(B) {}⊂A 

(C) {1}∈A

(D) {1}⊂A

(E)  2∈A
(F) {2,3}⊂A
(G){1,{2,3}}⊂ A

首先將 A 集合中所有的元素列出 , 即 {} , 1 , {1} , {2,3} 

在找出其所有的子集合如下: 

無任何元素的子集合

Ø

只有一個元素的子集合

{{}} , {1} , {{1}} , {{2,3}} 

有兩個元素的子集合

{ {} , 1 } , {  1 , {1} } , { {1} , {2,3} } , { 1 , {1} } , {{} , {1} } , { {} , {2,3} } 

有三個元素的子集合

{ {} , 1 , {1} } , { {} , 1 , {2,3} } ,  { 1, {1} , {2,3} } , { {}, 1 , {2,3} } 

有四個元素的子集合

{ {} , 1 , {1} , {2,3} } 


(A) {}∈A  , 為真 ; 空集合為任何集合的子集合,但 A中有一個元素 {} ,所以{}∈A . 

(B) {}⊂A , 為真 ; 空集合為任何集合的子集合. 

(C) {1}∈A , 為真 ; {1}∈ A 且 {1}⊂ A  

(D) {1}⊂A , 為真 ; 上題已說明 

(E)  2∈A , 為假 

(F) {2,3}⊂A , 為假; 因為 {2,3} 是 A 的元素 故其間關係是為∈

(G) {1,{2,3}}⊂ A , 為真; 如上面已說明



請用定義說明[1,2]⊂(−2,5)

根據實數區間的定義, 
[1,2] 為閉區間而其定義為 {x∈R | 1 ≤ x ≤ 2 }
(−2,5) 為開區間而其定義為 {x∈R | -2 < x < 5 }
因為 (-2,5) = (-2,1]∪[1,2]∪[2,5) , 所以 [1,2]⊂(−2,5)


考慮平面上的圖形：令 A={x|x 為正方形}、B={x|x 為菱形}、 C={x|x 為四邊形}，請指出 A、B、C 的關係

正方形: 兩對邊平行,且四邊等長,四個角必為90度
菱    形: 兩對邊平行,兩對邊等長,四個非為90度
四邊形: 兩對邊平行,兩對邊不一定等長,四個非為90度

A ⊂ B ⊂ C 

設 S={φ,1,{1,3},2}， 下列敘述那些是正確的
(A) φ∈S (B) φ⊂S (C) 2∉S (D) {1,3}∈S (E) {1,2}⊂S

(A) φ ∈ S , True  
(B) φ ⊂ S , φ 是空集合 , 所以任何集合的最小子集合是空集合
(C) 2 ∉ S , False 
(D){1,3}∈ S , True  
(E){1,2}⊂ S , True


設 A = { x∈Z| |x−1| ≤ 2 }，請問 A 的元素有幾個 , A 的子集合共有幾個？

A集合即求 |x−1| ≤ 2 之解集合 
|x−1| ≤ 2 
-2 ≤ x−1 ≤ 2 
-2 + 1 ≤ x ≤ 2 + 1 
-1 ≤ x ≤ 3 , therefore A = { -1,0 ,1 ,2 , 3 } 其子集合共有6類; 分別是無任何元素 , 一個元素 , 兩個元素 , 三個元素 ,四個元素 及五個元素. 

無任何元素 : 即空集合 , φ 
一個元素 : {-1},{0},{1},{2},{3}
兩個元素 : {-1,0},{0,1},{1,2},{2,3},{-1,1},{-1,2},{-1,3},{0,2},{0,3},{1,3} 
三個元素 : {-1,0,1},{0,1,2},{1,2,3},{-1,0,2},{-1,0,3},{0,2,3},{-1,2,3},{-1,1,3},{-1,1,2},{0,1,3} 
四個元素 : {-1,0,1,2}, {-1,0,2,3},{0,1,2,3},{-1,1,2,3},{-1,0,1,3} 
五個元素 : 即 A 本身

總和為 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 2^5 

設A = { 2 , 4 , a+1 }，B = { −4 , a−2 , a²−2a−3 }，已知 A∩B = {2,5}，則 a = ?

因為 A∩B = { 2 , 5 } , 則 a+1 = 5 , a = 4 


設 A、B、C是三個集合，試說明： 
(1) (A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C)。 

(2) (A∩B)∪C = (A∪C)∩(B∪C)。

(1)  (A∪B)∩C 指的是元素 x 屬於(A∪B) 且屬於 C , 即屬於 A 或  B 兩者之中一個,但同時屬於C,故 為屬於 A且C 或是 A且C . 
(2) 為(1) 的對偶命題




其交會的區域如下圖所示: 

A∪B

A∪B = (-2,1]∪[1,2]∪[2,3) = { x | -2 < x < 3 } 

A∩B

                          A∩B = {x| 1 < x < 2 }  

設 A={ (x,y) |x+2y = 2，x , y 為實數 }，B={ (x,y) |x−4y = 6 , x , y 為實數 }
, 試求 A∩B=？

A為一個 線性方程式 x+ 2y = 2 所組成的實數集合 , B為一個 線性方程式 x-4y = 6 所組成的實數集合. A∩B 為求兩集合的共同元素,即兩條線性方程式的解集合. 2x + 4y = 4 , x- 4y = 6 則 3x = 10 , x = 10/3 代入任何一式可求出 y = -2/3 , 所以 A∩B = { 10/3 , -2/3 } . 

設A={ −2 , a−2 , 3 }，B={ 1 , a²−a−3 , −5 }，若 A∩B = {3}，則a =？

因為 A∩B = {3} , 故 A, B 兩集合中必有一個元素 3 . 觀察 A 中元素為 -2 , a-2 , 及 3 .根據集合定義, 元素不會重複.故a-2 無法得知為何數(假設為k). B中也必有一元素 3. 故 a²−a−3 = 3 , 分解因式 (a-3)(a+2) = 0 求出 a = 3 , -2 2 但是同時代回 A, B 中兩式,以求出真正的集合才能驗定其值是否為正確. a = 3 , A = { -1 , 1 , 3 } , B = { 1 ,  3 , -5 } 則 A∩B = { 1 , 3 } 不合需求,故 a = 3 非所求.  所以 a = -2 . 

集合的差集合與餘集合：

(a) 差集的定義：
在集合A中但不在集合B中的元素所成的集合，稱為A減B的差集，記為A−B，即A−B={x|x∈A但x∉B}。

餘集合的概念：若討論的對象均為固定一個集合的子集合，這樣一個固定的集合稱為宇集合。通常以符號 U 表示之。

餘集合的定義：

若U為一個宇集合，A為U的一個子集合，則U-A={x|x∈U但x∉A}稱為A的餘集 合，記作A' 或 ~ A 或 A^C。

性質：

(a)~A=U−A，~(~A)=A (b)A∩~A = φ，A∪~A=U

(c)若A∩B = φ，則 A−B=A，B−A=B 

(d)A⊂B ⇔ ~A⊃~B

(e)A−B = A∩~B 

以上皆可用范氏圖表示之

(f)笛摩根定理:(DeMorgan’sLaw)

~ (A∪B) = ~A ∩ ~B 

~ (A∩B) = ~A ∪ ~B

觀念三：

證明笛摩根定理：(De Morgan’s Law) 

(1) (AÈB)^/ = A^/ÇB^/ (2)  (AÇB)^/ = A^/ÈB^/ 

^{證明此定理可以根據Venn Diagram 來證明 ,如下:}

^{Venn Diagrams for various DeMorgan Laws}