1-2 邏輯

1-2 邏輯


(甲)敘述 

a^2 + b^2 = 0 , 可以描述為 存在兩數 a 和 b , 使得 a^2 + b^2 = 0 成立.
其否定命題為 對於任兩數 a 和 b ,  使得 a^2 + b^2  ≠ 0 .   

x < 5 , 可以描述為存在一數 x , 使得 x < 5 成立.
其否定命題為 對於任意一數 x , 其 x  ≥ 5 .

存在一些奇數 , 其非質數 .
全部的人考試皆未作弊.
x+y = 2 且  x- y ≠ 5 . 
x+2 ≠ 3 或 x -1 > 5 . 

(A) 是, 因為 -3 是負整數 . 

(B) x^2 = 3x  

     ⇒ x^2 - 3x = 0  

     ⇒ x(x-3) = 0

     ⇒ x = 0 或  x = 3 故為假敘述. 所以是(因為前提為對所有實數). 

      舉個例, x = 1 則 1 = 3 為假. 

(C) 是,上題說明. 

(D) 這是見仁見智,故不是對於所有的看法皆成立或不成立.所以無
      法判斷真假.故非敘述. 

(E) 假敘述,是敘述

  










(1) ∀x [ x ∈ N , x > 0   ] 其否定敘述為  ∃ x  [ x ∉ N , x ≤ 0 ] , 即存在一些非自然數, 其小於或等於 0 . 
(2)  ∃x [ x ∈ R , x ≤  5  ] 其否定敘述為  ∀x  [ x ∉ R , x > 5 ] , 對於所有的非實數,其皆大於 5. 
(3) 存在一些數 x , 使得 - 4 < x < 1 
(4) ∃a [ 1< a < 3 ] ,  ∀a [ 3 ≤ a 或 a ≤  1 ] 
(5) (x-1)(y+5) = 0 

(1) False 矩形是正方形 : False . 正三角形是等腰三角形 : True 
(2) False
(3) True
(4) True
(5) True
(6) False 

(D) 的證明 

(x-1)(y-2) = 0 , x = 1 或 y = 2 則否定敘述為 ¬(x = 1 或 y = 2) ≡ ( x ≠ 1 且 y ≠ 2 )

a,b 是實數 , 則 (a-1)^2 + (b-2)^2 = 0
因為 (a-1)^2 ≥ 0 , (b-2)^2 ≥ 0 , 所以 (a-1)^2 = 0 且 (b-1)^2 = 0 故a =1 , b =1
{(a,b) | a,b 是實數 , (a-1)^2 + (b-2)^2 = 0 } = {(a,b)| a = 1 , b = 1 }

(乙)命題 

原命題：若∆ABC 為直角三角形，則△ABC 中，有兩邊平方和等於第三邊平方。請說明其否命題,逆命題及逆否命題

原命題：若兩個三角形面積相等，則這兩個三角形全等
請說明其否命題,逆命題及逆否命題

原命題：若兩個三角形三邊相等，則這兩個三角形三內角相等
請說明其否命題,逆命題及逆否命題

證明 - 角平分線定理

作圖要點為關鍵

由題意得知 , 若  x > 0 , 則 y > 0 其義為若 (x,y)中的x座標大於0,則其對應的y座標也要大於0. 所以其等假命題是 若 y ≤  0 , 則 x ≤ 0.   

  

Suppose that n can be written in an expression as below : 

n = 10k + 5 , k = 0,1,2,3,4, ... 

Induction on k 

Induction Basis : 

k = 0  , 5 | 5 is true . 

Induction Steps : 

Assume n = 10k + 5 , k > 0  and 5 | n 

Consider k+1 case , n = 10 (k+1) + 5 = (10k +5) + 10 =  5m + 10 = 5(m+2) 

Therefore , 5 | n , for n > 4 and  the first digit on the right of the number . 

由題意, 得知∠B = 90º , ∠A = 30º , ∠C = 60º ,  由下圖所示: 

由直角三角形性質 , AB  ²  +  BC  ² = AC ²     

假設 AC = 1 ,  BC = ( sin 30º )AC = 1/2 , AB = (cos 30º)AC = √3/2 . 

所以,  BC :AC:AB = 1/2 : 1 : √3/2 = 1: 2: √3

1) (x-1)(x-2) = 0 , x =1 , x = 2 . Therefore ,  x = 1 is sufficient condition for (x-1)(x-2) = 0 . But  (x-1)(x-2) = 0 is sufficient condition , then x = 1 is not necessary condition for (x-1)(x-2) = 0 . So (A) . 

2) if -1 <= x <=4 is a sufficient condition , then x > -3 is necessary condition. But if x > -3 is sufficient condition , but -1<=x<=4 is not necessary condition . So (A).

3) if ab < 0 is sufficient condition , then a < 0 or b < 0 or both are less than 0 . So the later holds. But if the later is sufficient condition , i.e. a < 0 , b < 0 or  a and b are less than 0 , ab < 0 is not necessary condition .