資料收集: 1-1 集合

1) 藉由因式分解為(x-1)(x-3) = 0 , 求出 x= 1 , x = 3 ; 故為 {1,3}
2) 被7除於2的自然數, 自然數定義為所有正整數所成的集合.依符合題意的最小自然數為2;接著為2+7,2+7+7 , .... 故為 2 , 9 , 16 , ... 以列舉法表示為 { 2 , 9 , 16 , ...}. 而描述法為{n| n = 7m+2 , m 是非負整數 }
3) (1) Q為有理數所成的集合, 依照其定義 , -√3 無法表示成有理數的形式;故非為其中的元素之一並以∉描述其與Q之間的關係. (2) Z 為所有整數的集合. Of course , -5 必為其中元素之一 ; 故以∈ 表示其與 Z之間的關係.(3) 0.35 為一個小數,其可以表示為 35/100 並約分為 7/20 ;此為最簡形式無法整除非自然數集合中的一個元素,故以∉ 描述其與Z之間的關係.

首先使用列舉法 A = { ..., -5,-3,-1,1,3,5,... } ,而 B = { ..., -3,1,5, ... }. 由於這兩個集合各數皆為無限個,故一時無法找出其之間的關係. How can we do ?
觀察一下, A 元素的排列是以2個整數為差作一一列舉,如果我們在其中任意找一個元素,假設是k,依照其規則向後找m個數,故其k數之後第m數k'為 2m + k. 同理,適用於B集合,其數為h' = 4m+k. 收集其間的數 A = { k, k+2, k+4+ , .., k+2m } , B = { k , k+4 , k+8 , ... , k+4m }. 可以發現B集合中所有的元素皆為A集合中的元素,但反之不然.故 B為A的子集合,以B⊂A 表示之.

A集合中的元素共有3個 ,那子集合的總數分類可以由集合中元素個數著手.
無任何元素的子集合, 即空集合 {} ,一個元素的集合,為{1},{2},{3},兩個元素的集合為{1,2},{2,3},{1,3},三個元素的集合為{1,2,3}即A. 顧及和總數為1+3+3+1 = 8

A 集合中的元素為 {}, 1,{1},{2,3} 共四個 ; 故其子集合共有如下:
{} : 空集合
{{}} , {1}, {{1}}, {{2,3}} : 只有一個元素的子集合.
{{},1}, {1,{1}},{{1},{2,3}},{{},{2,3}} : 兩個元素的子集合
{{},1,{1}},{1,{1},{2,3}},{1,{1},{2,3}} : 三個元素的子集合
A : 四個元素的子集合
(A)真(B)真(C)真(D)真(E)假(F)假(G)真

[1,2] 是一個閉區間以集合的描述法表示為{x'| 1≤ x ≤ 2 , x' 是實數} , 而(-2,5) 為一個開區間其集合表示法為 {x| -2 < x < 5 , x 是實數}.
-2 < 1 ≤ x' ≤ 2 < x < 5 , 故 [1,2] 為(-2,5)的子區間, 記為[1,2]⊂(-2,5) .

由集合的性質來著手, 正方形的性質 : 四邊等長,且兩對邊平行且四個內角需90度, 菱形的性質: 四邊等長,兩對邊平行,但四個內角無需90度. 四邊形即四個邊. 故以此條件來分析其間的關係為 A ⊂ B ⊂ C .

S 集合中共有 {}, 1 , {1,3} , 2 等四個元素.
其子集合共有 {}, {{}}, {1},{{1,3}} , {2} , {{},1},{{},2},{{},{1,3}} , {2,{1,3}}, {1,{1,3}},{1,2} , {{},1,{1,3}}, {{},{1,3},2},{1,{1,3},2} , 及 S.

(A)真(B)真(C)假(D)真(E) 真

因為 A集合用描述法,其條件為 |x-1| ≤ 2 ; 故去除絕對值展開為如下的式子:
-2 ≤ x-1 ≤ 2 , -2+1 ≤ x ≤ 2+1 , -1 ≤ x ≤ 3 . 故其區間為 [-1,3] . 因為 x 是整數
所以符合其條件的元素共有 -1,0,1,2,3 共5個.
以列舉法表示其集合為 {-1,0,1,2,3} , 列出其所有的子集合如下:
{} , {-1},{0},{1},{2},{3},{-1,0},{0,1},{1,2},{2,3},{1,3},{0,3},{0,2},{-1,2},{-1,3},{-1,1},{-1,0,1},{0,1,2},{-1,0,2},{-1,0,3},{0,1,2},{1,2,3},{-1,0,3},{-1,2,3},{-1,1,2},{0,1,3},{-1,0,1,2},{-1,0,2,3},{-1,0,2,3},{0,1,2,3},{-1,1,2,3},A 計算及總合為: 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 個

基本上可以視為n個相異物件從其中取k個所有整數方法數的總和.

_∑ nC_{k =}_nC_{0 +}_nC_{1 +}_nC_{2 + ... +}_nC_{n , 0}≤ k ≤ n .

由提意得知, A ∩ B = {2 , 5}, 則 A與B集合中必有2及5兩個元素.
B = { -4 , a-2 , a^2-2a-3 } 則有兩種可能 :

第一種:
a-2 = 2
a^2-2a-3 = 5
則 a = 4 , 代入16 - 8 - 3 = 5 成立

第二種:
a-2 = 5
a^2-2a-3 = 2
則 a = 7 , 代入 49 - 14 - 3 = 32 ≠ 2 故 a = 7 不合
答案為 a = 4 .

證明如上的題目,可以用Venn Diagram 來說明
(1) 左式的圖形:

橘色部分為先處理步驟,紅色部分為其結果

右式圖形 :

接著最後一步,聯集倆倆交集的部分.

(2) 也適用之,自行說明

A = { x | -2 < x < 2 } , B = { x | 1 < x < 3 } , 以數線觀點,重疊的部分為兩集合的交集部分. 聯集則為取兩集合最小及最大的端點.

因為集合 A, B 為兩個直線的表示式,所以 A∩B 其幾何意義為求其交點.

x +2y = 2 --- (1)

x - 4y = 6 --- (2)

式(1)*2 得到 2x + 4y = 4 , 我們令它為式(3) ,再將式(3)加上式(2) 則得到 3x = 10 , 則 x = 10/3 代入式(1) 得 10/3 + 2y = 2 , 則 2y = 2 - 10/3 = 6-10/3 = -4/3 ,故y = -2/3 . 所以 A∩B = {(10/3 , -2/3)} .

因為 A∩B = {3} , 所以 A,B 中必有一個元素 3. 由題意,已知A中已經有元素3; B中有三個元素{1,a^2-a-3,-5} , 故 a^2-a-3 = 3 因式分解 (a-3)(a+2) = 0 , 解出 a = 3 及 a = -2. 當a = 3 時, 代回 A中求出 A= { -2,1,3 } , 則 A∩B = {1,3}與題意不合. 當 a = -2 時, 代回A中求出 A = { -2,-4,3} , A∩B = {3}.故 a = -2 為其所求.

使用 Venn Diagram ,如下圖表示:

| x + 2 | < 3 , 去除絕對值則為 -3 < x+ 2 < 3 , -3 -2 < x < 3 -2 得 -5 < x < 1 .因為A集合中的元素為整數,所以 A = { -4,-3,-2,-1,0 } . 同理 x^2 ≥ 4 , x^2 - 4 ≥ 0 , 分解因式 (x+2)(x-2) ≥ 0 求出 x ≥ 2 及 x ≤ -2 . 所以有兩個集合的聯集{...,-4,-3,-2}∪ {2,3,4, ...}. 故 A - B = { -1,0 } .

U為宇集合, 故 A' = U - A = {1,2,3,4,5,6,7,8} - {2,3,4,7} = {1,5,6,8}

A - B = A∩B' = {2,3,4,7} ∩ {3,6,8} = {3}

說明圖形如下:

黃色部分面積為 A'

綠色部分為B'

所以可以看出來它們的關係, 故得証.

可以參考迪摩根證明 .

由題意可得知, 假設 U 為所有學生所成的集合 , A 為答對甲題的學生集合, B為答對乙題的學生集合. n(S) 為集合S的元素個數.故根據題意, n(U) = 50 , n(A) = 34 , n (B) = 28 , n(A∩B) = 20 .

1) 至少解對一題的學生集合表示法, 即 A∪B ,其個數為 n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B) = 34 + 28 - 20 = 62 - 20 = 42 .

2) 兩題皆未解出來的學生 , 即A'∩B' ; 其個數為 n(A'∩B') = n(U) - n(A∪B) = 50 - 42 = 8 .

3) 僅解對甲題的學生集合 , 即 A∩B' ; A∩B' = A - (A∩B) ,所以 n(A∩B') = n(A) - n(A∩B) = 34 - 20 = 14 .

假設 U 為100 到1000 所有的自然數所成的集合.A為100到1000所有可以被2整除的自然數所成的集合,而B為100到1000所有可以被3整除的自然數所成的集合,C為100到1000所有可以被5整除的自然數所成的集合.

n(S) 表示集合中元素的個數.

n(U) = 1000 -100 + 1 = 901 , n(A) = 1000 - 100 / 2 + 1 = 451 , n(B) = 999-102/3 + 1 = 300 , n(C) = 1000 - 100 / 5 + 1 = 181 .

n(A∩B∩C) = 990 - 120 / 30 + 1 = 30

n(A∩B) = 996 - 102 / 6 + 1 = 150

n(B∩C) = 990 - 105 / 15 + 1 = 60

n(B∩C) = 1000 - 100 / 10 + 1 = 91

依照題意,欲求100到1000中自然數非2倍數, 或3倍數或5倍數的個數.

即其集合個數表示法為如下圖所表示:

也就是說扣除 A∪B∪C 的部分為其所求, n(A∪B∪C) = n(A)+ n(B) + n(C) - n(A∩B) - n(B∩C) - n(A∩C) + n(A∩B∩C) = 451 + 300 + 181 - 150 - 60 - 91 + 30 = 932 - 301 + 30 = 661 , 所以 n(U) - n(A∪B∪C) = 901 - 661 = 240 .

假設所有人家的戶數為47 即n(U), 訂閱自由時報的戶數為n(A), n(A) = 32 ; 訂閱民生報的戶數為n(B) , n(B) = 25. 圖形如下所示:

n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B) = 32+ 25 - n(A∩B) = 57 - n(A∩B) , n(A∩B) = 10 ( 因為由題意得知,每戶至少訂一份報) , 所以只訂自由時報的戶數 n(A-A∩B)) = n(A) - n(A∩B) = 32 -10 = 22

假設3的倍數個數有n(A),而5的倍數有n(B), 則n(A) = 999 - 3 / 3 + 1 = 333 , n(B) = 1000 - 5 / 5 +1 = 200 , n(A∩B) = 990 - 15 / 15 + 1 = 66

1000 - 333- 200 + 66 = 533 .

假設U為全體學生的集合, n(U)= 50 , A,B,C分別代表答對題目A,B,C三個題目的學生所成的集合, n(A), n(B), n(C) 為其相對應的人數. 按題意, n(A) = 37 , n(B) = 30 , n(C)= 25 , n(AB) = 20 , n(AC)= 16 , n(BC) = 13 , n(ABC) = 5 .

以范式圖表式如下:

1) 至少答對一題的人數: n(A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A∩B) - n(B∩C) - n(A∩C) + n(A∩B∩C) = 37 + 30 + 25 - 20 - 13 - 16 + 5 = 92 - (20+13+16) + 5 = 92 - 49 + 5 = 48

2) 三題皆答錯的人數: n(A'∪B'∪C') = n(U) - n(A∪B∪C) = 50 - 48 = 2

3) 三題中恰答對一題的人數: 其范氏圖表示如下,

即為求 n(A∪B∪C) - n((A∩B)∪(B∩C)∪(A∩C))

37 - (15+5+11) + 30 - (15+5+8) + 25 - (11+5+8) = 92 - (31+28+24) = 92 - 83 = 9

綜合練習

a) A為一元二次方程式x^2 - 9x + 20 的解集合並其求其解集合.

(x-5)(x-4) = 0 , 則 x = 5 , x =4. 故列舉法 {4,5}

b) m,n 皆為自然數, m+n = 5 , 即求所有可能的組合如下:

1+4 = 5 , 2+3 = 5 ; 所有可能的組合數為 {1,2,3,4}.其表示為m/n形式的數字為1/4,2/3,4/1,3/2,其集合表示為{1/4 , 2/3 , 4/1 , 3/2 }.

A = { 1 , {1} , {2} , {1,2} } , 其共有 4個元素. 其子集合所列如下:

Ø, {1}, {{1}},{{2}},{{1,2}}, {1,{1}},{1,{2}},{1,{1,2}},{{1},{2}},{{2},{1,2}},{{1},{1,2}} , {1,{1},{2}},{1,{2},{1,2}},{{1},{2},{1,2}},{1,{1},{1,2}}, A

(A)真

(B)真 (因為 1 ∈ A , 所以 {1} ⊂ A )

(C)假

(D)假

(E)真

S集合中的元素為 Ø , 1 , {1,2} , 3 共為4個.

(A) Ø ∈ S , 真

(B) Ø ⊂ S , 真

(D) 真

(E) 假, 2 ∉ S

(a)f(x)g(x) = 0 , 即若f(x)g(x) = 0 , 則 f(x) = 0 或 g(x) = 0 兩者其一成立即可, 故 A∪B .

(b) g(x)/h(x) = 0 , 即g(x) = 0 , 但h(x) ≠ 0 . 即 B∩C' .

(c) f(x) = 0 且 g(x)h(x) = 0 , 以邏輯分配律為 (f(x)=0 )^((g(x) = 0) ∨(h(x) = 0 )) ⇒ ( (f(x) = 0 )^ (g(x) = 0 ) )∨( (f(x) = 0 )^(g(x) = 0) ) , 有兩種表示 A∩(B∪C) , (A∩B)∪(A∩C) .

因為 A = B , 所以有如下的可能:

x = x + 1 (矛盾)

y = 2

z = 3

x = 2

y = 3

z = x + 1 , z = 3 則 A = {2,3,3} = B

x = 3

y = 2

z = x + 1 , z = 4 則 A = {3,2,4} = B

x = 2

y = 3

z = x + 1 , z = 3 則 A = {3,2,3} = B

x = 2

y = x + 1 , y = 3 則 A = {2,3,3} = B

z = 3

x = 3

y = x + 1 , y = 4 則 A = {3,4,2} = B

z = 2

故共有5組序對為索求之解集合

(1) 若B ⊂ A , 則 A∩B = B , 所以n(A∩B) = 5 (此為最佳情況)

(2) 若A∩B = Ø , 則n(A∩B) = 0 　

(a) 最小為7最大為994 , 故 994 - 7 / 7 + 1 = 142 (因為求出來的差為兩數間間距,故須加1)

(b) 假設2的倍數所成的集合為A,5的倍數所成的集合為B, 7的倍數所成的集合為C. 個數為n(A),n(B),及n(C). n(A) = 500 , n(B) = 200 , n(7) = 142 ; 依題意求~n(A∪B∪C), 其Venn Diagram 如下:

n(A∩B) = 1000 - 10 / 10 + 1 = 100 , n(B∩C) = 980 -35 / 35 + 1 = 28 , n(A∩C) = 994 - 14 / 14 + 1 = 71 , n(A∩B∩C) = 980 - 70 / 70 + 1 = 14

先求 n(A∪B∪C) , n(A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A∩B) - n(B∩C) - n(A∩C) + n(A∩B∩C) = 500 + 200 + 142 - (100+28+71) + 14 = 657 , 所以~n(A∪B∪C) = U - n(A∪B∪C) = 1000 - 657 = 343 .