3-2 機率
(甲) Laplace 古典機率的定義與性質
兩個均勻的骰子, 意為其出現機率都均等故每面出現的機率皆為1/6 (共有6個數字,由1,2,3,4,5,及6) ; 所以擲兩個骰子d1,d2 所出現的數字總和為一個outcome S (結果)如下所示 :
(d1,d2,S) :
(1,1,2) (1,2,3) (1,3,4) (1,4,5) (1,5,6) (1,6,7)
(2,1,3) (2,2,4) (2,3,5) (2,4,6) (2,5,7) (2,6,8)
(3,1,4) (3,2,5) (3,3,6) (3,4,7) (3,5,8) (3,6,9)
(4,1,5) (4,2,6) (4,3,7) (4,4,8) (4,5,9) (4,6,10)
(5,1,6) (5,2,7) (5,3,8) (5,4,9) (5,5,10) (5,6,11)
(6,1,7) (6,2,8) (6,3,9) (6,4,10) (6,5,11) (6,6,12)
共有 36 outcomes , 則 d1 + d2 = 5 共有4組. 故機率為 4/ 36 = 1/9
(1) 假設紅球有三個為 r1,r2,r3 , 黃球為 y1,y2,y3,y4,y5 , 白球 w1,w2 .
所以每個球的機率皆同為1/10 , 那紅球的機率為1/10+1/10+1/10 = 3/ 10
(2) 兩球同色的情況如下:
任取兩球的組合數有: 10C2 = 10! / 2! 8! = 10 *9 / 2 = 45 種組合.
那分析如下 : 如果取出兩球皆為同色的情況有幾種可能:
RR , 3C2 = 3 YY , 5C2 = 5! / 2!3! = 5*4 / 2 = 10 WW , 2C2 = 1
故機率為 (3+10+1) / 45 = 14 / 45
SCIENCE 為七個字母的排列一種, 故將此七個字母所組成的卡片做一個不同物件的排列,及所有可能的排數 為 7! = 5040 , 但有一個問題 C , E 字母有重複的情形, 必須扣除 2! * 2! = 4 種可能 (因為字母排列字一樣視為一樣). 5040 /4 = 1260 種 .故機率為 1/1260 .
(1) 根據定理 P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) , 2/5 = 1/3+1/4 − P(A∩B) ; - P(A∩B) = 2/5 - 1/3- 1/4 = -11/ 60 , 故P(A∩B) = 11/60 .
(2) P(A') = 1 - P(A) = 1 - 1/3 = 2/3
(3) P(A'∩B) = P(B) - P(A∩B) = 1/4 - 11/60 = 4 / 60 = 1/15
(4) P(A'∪B) = P(A') + P(B) - P(A'∩B) = 2/3 + 1/4 - 1/15 = 17/20
(1) 由題意得知,有一種骰子擲出的點數出現的機率與該點數成正比. 因為骰子有六個面,每面各有一個數字代表之(1,2,3,4,5,6);則按題意得知, 假設P(di) 為擲出骰子點數的機率, i =1,2,3,4,5,6 , 則P(d1) < P(d2) < P(d3) < P(d4)< P(d5) < P(d6) .
假設出現一點的骰子的機率為 x ,即P(d1) = x ; 則 P(d2) = 2x , P(d3) = 3x , P(d4) = 4x , P(d5) = 5x , P(d6) = 6x . 所以所有機率的總和為 x+2x+3x+4x+5x+6x = (1+2+3+4+5+6)x = 21x = 1 ,故 x = 1/21 ; 所以 P(d2) = 2/21 .
(2)A代表偶數點出現的事件總和 ; 即2,4,6. P(A) = P(d2) + P(d4) + P(d6) = 2/21 + 4/21 + 6/21 = 12/21 = 4/7
B代表奇數點出現的事件總和 ; 即1,3,5. P(B) = P(d1) + P(d3) + P(d5) = 1 - P(A) = 3/7
C代表質數點出現的事件總和 ; 即2,3,5. P(C) = P(d2) + P(d3) + P(d5) = 2/21 + 3/21 + 5/21 = 10/21
(3) P(B∩C) = P(d3) + P(d5) = 3/21 + 5/21 = 8/ 21
由題意,有兩個公正的骰子n,m 則擲一次所有的點數和2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 ; 共11個結果.以(n,m)表示每次擲出兩個骰子出現的點數, n 為第一個的骰子出現的點數 , m為第二個骰子出現的點數. 則共有如下的出現情況:
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)
發現黃色部分其兩次出現的骰子和為大於7的次數共有1+2+3+4+5 = 15, 而每次出現的機率為1/36 , 故其點數和大於7的機率為 15/36 = 5/12 .
分析如下:
(x,y,z) 為三個骰子出現的點數,針對第一個骰子出現的點數有6種可能性, 第二個骰子出現的可能性為5種,第三個骰子出現的可能性為4種. 故由乘法原理得知共有6*5*4 = 120 種可能.
(2) 恰有兩個點數相同, 相同的pattern 為 (x,x,y) ; 則可能的情況有
(x,y,x)
(x,x,y)
(y,x,x) 三種
無論哪一種都有 30 種可能,故所有可能為3*30 = 90 其機率為 90/216 .
S = {a1,a2,a3,a4} , 事件假設 A = { a2,a3} , B = {a2,a4} , C = { a3,a4} 且
P(A) = 2/3 , P(B) = 1/2 , P(C) = 1/2 , P(S) = 1 , P({a1,a2}) = 1 - P({ a3,a4}) = 1 - 1/2 = 1/2 .
用Venn Diagram 來表示如上關係:
P(A'∩B') = P(U) - P(A∪B) = 1 - P(A∪B) ,
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 1-1/4 = 3/4
P(B) - P(A∩B) = 3/4 - 1/3 = 9/12 - 4/ 12= 5/12 = P(A'-B') 如下紅色部分
證明:
(a) There are a simple space S and A,B,C are events . Assume that P(A), P(B),P(C) are their corresponding probabilities.
Because A ⊂ B , then A ∪ B = B and A ∩ B = A , so P(A∪B) = P(B) , P(A∩B) = P(A) . And because A ∩ B ⊂ A ∪ B ,then P(A∪B) ≥ P(A∩B) implies P(B) ≥ P(A) .
(b) Consider Venn Diagram .
P(A'∪B') = P(U) - P(A∩B) = 1 - P(A∩B).
(c) ((A∪B)∩C) = (A∩C)∪(B∩C) , then P((A∪B)∩C) = P((A∩C)∪(B∩C)) = P(A∩C) + P(B∩C) - P((A∩C)∩(B∩C)) = P(A∩C) + P(B∩C) - P (A∩B∩C).
(a)第一次6點 , 其餘兩次無論點數. 故6*6種組合其機率為 6*6/6*6*6 = 1/6
(b)第三次1點 , 前兩次無論點數.故機率同1/6
(c)第一次6點或第三次1點, 可以視為P(A∪B) = P(A) + P(C) - P(A∩B) = 1/6+ 1/6 - 1/36 = 1/3 - 1/36 = 11/36
假設白球為 w1,w2,w3 , 黑球為 b1,b2,b3,b4 , 紅球 r1,r2,r3,r4,r5
(1) (4C1 * 5C2 ) /12C3 = 2/11
(2) 3C3 + 4C3 + 5C3 / 12C3 = 15 / 220 = 3 / 44
(3) 取三球其中只有兩種球的可能組合:
(w,w,b), (b,b,w), (w,r,r) , (w,b,b),(r,b,b),(w,w,r)
3C2 * 4C1 + 4C2*3C1 + 3C1*4C2 + 5C1*4C2 + 3C2 *5C1 / 12C3
(1) 個位數 > 十位數
9 > 8,7,6,5,4,3,2,1
8 > 7,6,5,4,3,2,1
....
0 > 無
99 -10 + 1 = 90 個數, 如上綜合之 , 8 +7 + 6+ 5 +4+ 3+ 2+ 1 = (1+8)*8/2 = 36
機率 36/90 = 2/5
(2) 個位數 = 十位數
11,22,33,44,55,66,77,88,99 故機率 9 / 90 = 1/10
由題意鋸成1000個小正立方體,可以假設每個正立方體大小為1立方單位, 所以大立方體為10*10*10的立方單位.因為6面均塗綠漆的大立方體,故有10*10*2 (上下兩個頂) +8*10*2(前後兩個面) + 8*8*2 (左右兩個面) = 200 + 160 + 128 = 488 為有綠顏色的. 1000 - 488 = 512 為6面無綠色的正立方體,所以機率 512/1000 = 64 / 125
(乙) 機率問題的計算
由題意統一發票的形式,其號碼個位數為0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任一數字,且數字機率出現皆相等,即1/10.
(1) 由不同場合取得三張統一發票,其個位數至少有一個0的機率可能性如下:
A,B,C 為三張發票, 每張發票為8 個數字.故每張發票可能的數字組合為 10*10*10 = 1000 * 3 = 3000 , 個位數為0的可能組合為10*10*9=900,但題意為100+200+300 =
(1) 不全相異,即至少兩兩同,三同,四同,全同
全部 - 全相異的 = 上所求.
6^5 - 6*5*4*3*2 = 6^5 - 6! = 6*(6^4- 5!) = 6*1176 = 7056 / 7776 = 1176/1296 = 392/432 = 196 / 216 = 98/108 = 49 / 54
(2) (x-y)(y-z)(z-u)(u-v) = 0
(x-y)(y-z)(z-u)(u-v) ≠ 0
x ≠y 且 y ≠ z 且 z ≠ u 且 u ≠ v 即 (x,y,z,u,v) 各異 = 6!
6^5 - 6! = 7056
Black shoes: 3 雙 3BL , 3BR
White shoes: 2 雙 2WL , 2WR
共10 隻鞋, 由10 鞋取4隻其組合數為 10C4 = 210
由於相同顏色對半故除2 =105
而取4隻鞋可能組合為:
black * 2 or black *1 + white *1 or white*2 三種情形.
3C2*3C2 + ( 3C1*3C1 + 2C1*2C1 ) + 2C2*2C2 = 9 + ( 9 + 4 ) + 1 = 23
(1) K,Q,J,10,9 : 4 種花色 / 52C5 = 4 / 52C5 .
(2) Full house (XXX,YY) : 每種花色有13種 (A-K),一對為四種花色取3種,另一對為四種花色取兩種,數字有12種選擇,即 13*4C3*12*4C2 / 52C5
(3) Two pair (xx,yy,z) : 花色 13*4C2*12*4C2*11*4C1 / 52C5
(4) Four of a kind (xxxx,y) : 13*4C1 * 12 *4C1 / 52C5 (解答有誤)
擲骰子10次,t1,t2,t3,...,t10 ; 每次擲皆視為不同物件
t1,t2,...,t7 : 都丟出6點.
t2,t3,...,t8 : 都丟出6點.
t3,t4,...,t9 : 都丟出6點.
t4,t5,...,t10 : 都丟出6點. ... 類推故有 10C7 種
還剩下3次,其扣除出現6點的可能有5種,三次擲皆可重複 , 故有5^3 .
其中有一球是7並說明其為第二大,所以說明第一大的數可能為8,9,10三種.
3* 8C1* 7C1 ; 任意取4球其組合數為 10C4 , 故機率為
(1)
任取三數a,b,c使其成等差的情況:
差1 : 9 種
差2 : 奇數 (1,3,5,7,9) + 偶數 (2,4,6,8,10)
差3 : 1,4,7,10 + 2,5,8
差4 : 1,5,9 + 2,6,10
差5 : 無
1,3,5,7,9 = (1,3,5)+(3,5,7)+(5,7,9) 3種
2,4,6,8,10 = (2,4,6)+(4,6,8)+(6,8,10) 3種
1,4,7,10 = (1,4,7)+(4,7,10) +(2,5,8) 3種
9 + 9 + 2 = 20 20 /10C3 = 20 /120 = 1/6
(2) 等比 , 分析如下:
由最小數1開始 ,
1 , 2 , 4 , 8 ( r = 2 ) = (1,2,4)+(2,4,8)
1,3,9 ( r = 3 )
4,6,9 ( r = 1.5 )
4/10C3 = 4/120 = 1/30
綜合練習
已知 P(A∩B) = P(C∩B) = 0 , 即 B與A,C皆無交集,P(A∩C) = 1/8
三事件至少發生一件的機率 = 全部 - 三者皆未發生的機率
P(A∪B∪ C) = 2*(1/4 - 1/8) + 1/8 + 1/4 = 5/8 .
由題意, P(A) = 1/2 , P(B) = 1/3 , p = P(A∪B)
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 1/2+ 1/3 - P(A∩B) = 5/6 - P(A∩B) ≤ 1 ,
若 A∩B = Ø , P(A∪B) = 5/6
若 A∩B ≠ Ø , P(A∩B) ≠ 0 , P(A∪B) = 5/6 - P(A∩B)
所以 1/2 < p ≤ 5/6 故 (D)
假設 C team 奪冠的機率為 p , 則 B team 就為 3p , A team 為 6p .
p+3p+6p = 1 , 10p = 1 , p = 1/10 , A team 機率為 6/10
假設d1,d2分別為兩個骰子, 則由題意,
d1
f1:1
f2:1
f3:1
f4:2
f5:2
f6:3
fi : 為第i面 , i =1,2,3,4,5,6
d2
f1:1
f2:2
f3:2
f4:3
f5:3
f6:3
2 ≤ fi(d1)+fj(d2) ≤ 6 , i = 1,2,3,4,5,6 共有 36 個組合如下所示:
(1,1),(1,1),(1,1),(1,2),(1,2),(1,3)
(2,1),(2,1),(2,1),(2,2),(2,2),(2,3)
(2,1),(2,1),(2,1),(2,2),(2,2),(2,3)
(3,1),(3,1),(3,1),(3,2),(3,2),(3,3)
(3,1),(3,1),(3,1),(3,2),(3,2),(3,3)
(3,1),(3,1),(3,1),(3,2),(3,2),(3,3)
其和點數來表示:
2,2,2,3,3,4
3,3,3,4,4,5
3,3,3,4,4,5
4,4,4,5,5,6
4,4,4,5,5,6
4,4,4,5,5,6
2 : 3
3 : 8
4 : 14 , 機率為 14/ 36 = 7 /18 最大
5 : 8
6 : 3
作法如上, 共有36種組合
f2:2
f3:2
f4:3
f5:3
f6:3
2 ≤ fi(d1)+fj(d2) ≤ 6 , i = 1,2,3,4,5,6 共有 36 個組合如下所示:
(1,1),(1,1),(1,1),(1,2),(1,2),(1,3)
(2,1),(2,1),(2,1),(2,2),(2,2),(2,3)
(2,1),(2,1),(2,1),(2,2),(2,2),(2,3)
(3,1),(3,1),(3,1),(3,2),(3,2),(3,3)
(3,1),(3,1),(3,1),(3,2),(3,2),(3,3)
(3,1),(3,1),(3,1),(3,2),(3,2),(3,3)
其和點數來表示:
2,2,2,3,3,4
3,3,3,4,4,5
3,3,3,4,4,5
4,4,4,5,5,6
4,4,4,5,5,6
4,4,4,5,5,6
2 : 3
3 : 8
4 : 14 , 機率為 14/ 36 = 7 /18 最大
5 : 8
6 : 3
作法如上, 共有36種組合
假設 68, 69 , 70 , 71 , 72 單位長測量為 event A,B,C,D,E .
15/ 50 = 3/10 的機率為測出71單位長.
假設 d1,d2,d3 為三個公平骰子, 可能的組合數 6*6*6 = 216 組
(d1,d2) = (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)
(d1,d3) = (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)
(d2,d3) = (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)
而每個組合第三個骰子可能的數為5個,故
而每個組合第三個骰子可能的數為5個,故
18*5/216 = 90/216
假設密碼為abcd , 但不知道其對應數字是否正確 只知道 a,b,c,d ∈ { 3,3,8,9} . 將是個數字排成一列的組合數:
4!/2! = 12 故機率為 1/12
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 其中分成兩群: A: 偶數 , B: 奇數.
A = { 1,3,5,7,9} , B ={2,4,6,8,10}
奇 + 奇 = 偶 , 5C2 = 10
偶 + 偶 = 偶 , 5C2 = 10
p = 20 / 45 = 4/9
奇 + 偶 = 奇
q = 25 / 45 = 5/9
10C2 為全部取法 = 45
故(1)(4)
1,2, ..., 10 十盞路燈, 有三盞是故障的的可能組合數 10C3 = 120 其中有4,5兩盞燈故障即10 - 2 = 8 再由其中取一盞即8C1 = 8 , 所以機率 8/120 = 1/15
依題意,取四球但不放回,其可能數為 7C4= 35
和為奇數 = 奇 + 偶 = 取{1,3,5,7} + 取{ 2,4,6} = 4C1×3C3 + 4C3×3C1 = 4 + 12 = 16
奇 + 偶 + 偶 + 偶 = 奇
奇 +奇 +奇 + 偶 = 奇 故機率為 16/35
6 個數皆偶數 ,{2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,34,36,38,40,42} 中21數取6數 , 即 21C6 . 故機率 21C6 / 42C6 , 但是要如何快速地算出 ? 接近值 ?
42C6 = R , 39C5 = r , r/R = 39C5 / 42C6 如何算接近值 ?
共有16 個格子, 取任取2個格子,其組合數為 16C2 ; 但計算兩格在同一行的組合數為 4* 4C2 = 24 , 所以 16C2 - 24 = 96 , 96/120 = 4/5
(a) 恰有2次出現1點的機率 , 每次擲出可能有1~6點 , 恰有兩次出現1點的情
形為 (1,1,x,x) , (1,x,1,x) , (1,x,x,1) , (x,1,1,x) , (x,x,1,1) , (x,1,x,1).
25 *6 = 150 / 6^4 = 25 / 6^3 .
(b) 至少有兩次出現1的組合 = 恰有2次出現1點組合數 + 有3次出現1點組合數 +有4次(全部)出現1點組合數 = 全部組合數 - 只有一次出現1的組合數 - 無出現1的組合數 .
有3次出現1點組合數 : (1,1,1,x),(1,1,x,1),(x,1,1,1),(1,x,1,1) 共4種.
150+4+1 / 6^4 = 155 / 6^4
可以將其三人猜拳以樹狀圖繪出:
剪刀: A
石頭: B
布: C
甲贏的猜全組合為:
ACC , BAA, C,BB
所有可能的猜拳組合為 3^3 = 27
三人不分勝負即 AAA, BBB, CCC , ABC , BCA , BAC , ACB , CAB,CBA只有這9種.
所有可能的猜拳組合為 3^3 = 27
故機率為 9/27 = 1/3
100數取3數組合為100C3 .假設有3數a,b,c , 則3數成等差的值可能為
奇數.偶數分群, {1,3,5,7,...,99} , {2,4,6,8,...,100}
任取3數組合為nCk
甲贏的猜全組合為:
ACC , BAA, C,BB
所有可能的猜拳組合為 3^3 = 27
故機率為 3/27 = 1/9
所有可能的猜拳組合為 3^3 = 27
故機率為 9/27 = 1/3
 |
| 有難度 |
100數取3數組合為100C3 .假設有3數a,b,c , 則3數成等差的值可能為
奇數.偶數分群, {1,3,5,7,...,99} , {2,4,6,8,...,100}
任取3數組合為nCk
No comments:
Post a Comment