1−2 無窮等比級數

1−2 無窮等比級數 

1−2 無窮等比級數

◎ 了解無窮級數的求和方法。
◎ 了解無窮數列的意義及能利用極限求無窮級數的和。
◎ 認識無窮等比級數的和可以使用極限的概念來計算。
◎ 能推導出無窮等比級數的求和公式。
◎ 能判別無窮等比級數的收斂與發散的條件。
◎ 了解循環小數和無窮等比級數之間的關係。
◎ 能將循環小數化成分數，並了解這兩個概念之間是等價的關係。
◎ 介紹極限的夾擠定理。

一、無窮等比級數：
◎ 無窮級數的和：

給定無窮級數a1+a2+a3+a4+...+an ，並令其前n項的和為Sn，即Sn = a1+a2+a3+a4+...+an 。則 
(1)若無窮數列 < Sn > 為收斂數列，且其極限為 lim n → ∞ Sn  = S，則稱此無窮級數為收斂級數，它的和為S. 

(2)若無窮數列 < Sn > 為發散數列，則稱此無窮級數為發散級數，它不能求和。 

練習 1：試求下列各級數的和： 

(1)1/2 + 1/6 + 1/12 + ... = (1-1/2) +(1/2-1/3) + ...+(1/(n-1) - 1/n) + (1/n-1/(n+1)) = 1 - 1/(n+1) ; 即求前 n 項之和. 
(2)  lim n → ∞ Sn = lim   n → ∞ [1 - 1/(n+1) ] = 1 - lim   n → ∞ 1/(n+1) = 1- 0 = 1 

練習 2：試求無窮級數 

      



原式 = 1/2[ (1-1/3)+(1/3-1/5) + ... + (1/(2n-1) - 1/(2n+1) ]  = 1/2 [1 - 1/(2n+1) ] = 1/2 [ 2n+1- 1/(2n+1) ] = n/(2n+1) , 此為前n 項之和. 若當 n  → ∞ 時 ,  lim n  → ∞  Sn  = lim n  → ∞ n/(2n+1) = 1/2  

◎無窮等比級數的和：
首項為a(a ≠ 0)，公比為r的無窮等比級數為 

則  (1) 當−1< r < 1時，此無窮等比級數為收斂級數，它的和為 S =a/1-r 。
      (2) 當r ≤ −1 或 r ≥1時，此無窮等比級數為發散級數，它不能求和。

練習 3：判斷下列各無窮等比級數為收斂或發散級數，若為收斂級數，試求其和。 

(1) 發現此為等比級數, 公比為 r , r = 1/4 , |r| <1 .="" 4="" p="" s="1/1-1/4">(2) a1 = 3/5 , a2 = -3/10 , a3 = 3/20 , ...
      
a2/a1 = -3/10 * 5/3  = -1/2 , a3/a2 = 3/20 * -10/3 = -1/2 , ... 故 r = -1/2 , |r| < 1 ; 此為收斂級數,       故 S =  3/5 / (1+1/2) = 3/5 * 2/3 = 2/5
(3) a1 = 1 , a2 = 4/3 , a3 = 16/9 , ...
     a2/a1 = 4/3 , a3/a2 = 16/9 * 3/4 = 4/3 , ... 故  r =  4/3 , |r| > 1 ; 此級數會發散.

練習 4：判斷下列各無窮等比級數為收斂或發散級數，若為收斂級數，試求其和。

(1) a2/a1 = -2/3 , a3/a2 = 4/9 * -3/2 = -2/3 , ... r =  -2/3 , |r| < 1 ; 此級列必收斂, S = 1 / 1+2/3 = 3/5 (2) a2/a1 = -3/2 , a3/a2 = 9/4 * -2/3 = -3/2 , r = -3/2 , |r| > 1  ;  此級列必發散.  


練習 5：如右圖，設PQ = 2，以PQ的一半為邊長，作一正方形A1 , 再以剩下線段的一半為邊長作一正方形A2，如此繼續下去，得到一序列的正方形 A1A2A3 ...，試求這些正方形面積的和。

依題意, 假設 A1的邊長為s1, s1 = 1/2 PQ = 2/2 = 1 ,面積 1*1 = 1 

A2的邊長為s2, s2 = (2-1)/2 =1/2  ,面積 1/2*1/2 = 1/4 

A3的邊長為s3, s3 = 1/2/2 =1/4  ,面積 1/4*1/4 = 1/16 

.... 類推

故以 S 表示所有的正方形面積和 , S = A1+A2+A3+...+An+ ... 

S = 1+1/4+1/16+ ...+(1/4)^n-1 + ... , r = 1/4 , |r| < 1 ; 故此級數為收斂, 必尤其和 S = 1/1-1/4 = 4/3

練習 6：：設∆A1B1C1 是邊長為 2的正三角形，連接各邊中點形成正三角形∆A2B2C2 , 如此繼續下去，得到一序列的正三角形∆A1B1C1 ，∆A2B2C2 ，∆A3B3C3 ，… 試求這些正三角形面積的和.  

正三角形面積 = 3/4 * (邊長)^2 , 

∆A1B1C1  = 3/4*4 = 3 

∆A2B2C2 = 3/4*1= 3/4 

∆A3B3C3 = 3/4*(1/2)^2 = 3/4*1/4= 3/16 

... 

觀察一下, A2/A1 = 3/4  *1/3 = 1/4 , A3/A2 = 3/16 * 4/3 = 1/4  , ... r = 1/4 , |r| < 1 .  

A1+A2+... +An + ... = S , S = 3/1-1/4= 3*4/3 = 4 

二、循環小數：(利用無窮等比級數的和，可以將循環小數化為分數。) 

練習 7：將下列各循環小數化成分數 (1) 0.(42) (2) 0.4(23)。

(1) 0.(42) = 0.42424242... = 0.42 + 0.0042 + 0.000042 + ... 

= 42/100 + 42/10000 + 42/1000000 + ...  = 42 (1/100+ 1/10000 + 1/1000000 + ... ) = 42 ( 1/100/1-1/100) = 42/100 * 100/99 = 42/99 

(2) 0.4(23) = 0.423232323... = 0.4 + 0.023 + 0.00023 + ... = 4/10 + (23/1000 + 23/100000 + ... ) = 2/5 + 23(1/1000+1/100000+... ) = 2/5 + 23*1/1000/(1-1/100) = 2/5 + 23/1000/99/100 = 2/5 + 23/1000*100/99 = 2/5 + 23/990 = 396 + 23 / 990 = 419 / 990 

練習 8：將下列各循環小數化成分數：(1) 3.(21) (2) 0.0(47) 

(1) 3.(21) = 3.212121 ... = 3 + 0.212121 ... = 3 + 0.21+ 0.0021 + 0.000021 + ... 

= 3 + 21 (1/100 + 1/10000 + ... ) = 3 + 21 * 1/100/ 1-1/100= 3 + 21/100 * 100/99 = 3+ 21/99= 21+297/99 = 318/ 99 = 106 /33 

(2) 0.0(47) = 0.047474747...  , 令 x = 0.047474747... , 10x = 0.474747 ... 

0.474747 ... = 47/99 , 10x = 47/99 , x = 47/990 

【觀念釐清】因為每一個循環小數的循環部分都可視為一個收斂的無窮等比級數，所以循環小數都可以化成分數，即循環小數都是有理數。

三、夾擠定理：(求極限) 

練習 9：已知無窮數列 < cn >  滿足不等式 

  試求  lim n  → ∞  Cn 

令 an = 1/3 - 1/2n + 1/6n^2 , bn = 1/3 + 1/2n+ 1/6n^2 ; 

lim an = 1/3 , lim bn = 1/3 , 故由夾擠定理 , lim cn = 1/3 

練習 10：已知無窮數列 Cn 滿足不等式 

同理可用夾擊定理 , 求出 lim Cn = 1/3 . 

練習 11：

因為 2^n ≥ n^2 , 1/2^n ≤ 1/n^2  ⇒ 0 ≤ 1/2^n ≤ 1/n^2 , 0 ≤ n/2^n ≤ n/n^2

lim 0 = 0 , lim 1/n = 0 ; 由夾擊定理 lim n/2^n = 0


練習 12：

3^n ≥ n^3 , 0  ≤ 1/3^n  ≤ 1/n^3 , 0  ≤ n^2/3^n  ≤ 1/n 

lim 0 = 0 , lim 1/n = 0 ; 由夾擊定理, lim  n^2/3^n = 0 

◎利用夾擠定理求得半徑r的圓面積為 πr^2 ：

習題

1. 設 < an > 為一首項 a1 = 1，公比 r = −1/2  的無窮等比數列。選出正確的選項：

(1) a1 =1 , r = -1/2 , a2 = -1/2 , a3 = 1/4 , ... 發現奇數項為正 , 偶數項為負. 

(2) r = -1/2 , |r| < 1 ;　lim an = 0 , 故為等比數列. 

(3) yes 

(4) a1+a2+...+an + ... = 1/1+1/2 = 2/3 

(5) 1/a1+1/a2+...+1/an + ...= b1+b2+b3+ ...+bn+ ... , bi = 1/ai , i =1,2,3,4,... , r = -2 ; bn 為發散數列. 

1/1*3 + 1/2*4 + ...+ 1/n(n+2) + ... = 1/2[(1/1 - 1/3)+ (1/2-1/4) + ...+ (1/n- 1/n+2)] = 1/2[ 1 +1/2 - 1/n+2 ] = 3/4 - 1/n+2 , lim (3/4 - 1/n+2) = 3/4 

(1) 24 > 12 > 6 > 3 > ... 發現越後面項目越小 , 12/24 = 1/2 = 6/12 = 3/6 = ... an+1/an , r = 1/2 , |r| < 1. Given nth item an , lim an = 0 , n approaches ∞ . So this is a  convergent series. 

(2) 3√3 - 3 + √3 - 1 + ... = (3√3 - 3)+(√3 - 1) + ... = 3(√3 - 1) + (√3 - 1) + ... 

r = 1/3 , |r| < 1 ; 故為等比級數 , S = 3(√3 - 1) + (√3 - 1) + ... = 3(√3 - 1) / 1-1/3 = 3(√3 - 1) / 2/3 = 3(√3 - 1) * 3/2 = 9(√3 - 1)/2  

(3) 3< 4 < 15/3 < 16/3 < 63/9 < 64/9 < ... , 發現越後面的項目越大 ;  所以是發散數列. 

(4) lim an = 0 , 所以是收斂級數,

2/5 + 8/25 + 26/125 + ... = (3-1)/5 + (9-1)/25 + (27-1)/125 + ... + ... = (3/5 + 9/25+ 27/125 + ....) -( 1/5+1/25+1/125 +...) = 3/5/ (1-3/5) - 1/5/1-1/5 = 3/5*5/2 - 1/5*5/4 = 3/2 - 1/4 = 6/4 - 1/4 = 5/4    

由題意正三角形S1的邊長為3, S2的邊長為為(9-3)/3 = 6/3 = 2 , S3的邊長為(9-3-2)/3 = 4/3 , ... 類推. 發現到一個現象, S2/S1 = 2/3 , S3/S2 = 4/3*1/2 = 2/3 , ...其公比皆為 2/3 , 所以令 r = 2/3 , |r| < 1 ; 則 所有正三角形和 S =S1+S2+ ...+Sn + ... = S1(1+(4/9)+(16/81)+... ) = S1(1/1-4/9) = S1*9/5 

正三角形面積= (√3/4)x邊長平方 , S1 = 9√3/4 ; 所以 S = 9√3/4 *9/5  = 81√3/20 . 

(1) 0.(520) = 0.520520520 ... 令 X =  0.520520520 , 1000x = 520.520520...  = 520 + x , 

999x = 520 , x = 520/999 . 

(2) 5.4(38) = 5.4383838... 5.4383838...  = 5.4 +0.0383838 ... , 令  y = 0.0383838... 

  10y = 0.383838... , 100y = 38.383838... = 38 + 0.383838 = 38 + 10y , 90y = 38 , y = 38/90 

 5.4383838...  = 5.4 +0.0383838 = 5.4 + 38/90 = 54/10 + 38/90 = 524/90  

(1) 0.3(43) = 0.3434343 ... = 0.3 + 0.0434343... 

     令 x = 0.0434343... , 10x = 0.434343 ... , 1000x = 43.4343...= 43 + 10x , 990x = 43, x = 43/990. 

     0.3 + 0.0434343... = 0.3 + 43/990 = 3/10 + 43/990 = 3*99 + 43/ 990 = 297+43/990 = 340/990 = 

     34/99 > 33/99 = 1/3 

(3) 0.(34) = 0.343434 ...= 0.343 + 0.0004343 ... > 0.343 

(4) 0.(34) = 0.343434 ... = 0.34 + 0.00343434 ... 

0.00343434 ...  = 0.0034 + 0.000034 + ... = 0.0034 (1+ 1/100 + ... ) = 34/10000 (1/1-100) = 34/10000 * 100/99 = 34/9900 , 0.01 = 1/100 = 99/9900 > 34/9900 ; 所以 , 0.35 > 0.(34) 

(5) 0.(34) = 0.3(43) 

     0.(34) = 0.343434 ... , 0.3(43) = 0.3434343 ... 

因為　＜an> 會滿足 π(n^2-3n) ≤ an ≤ π(n^2+3n) , 則π(n^2-3n)/n^2 ≤ an / n^2≤ π(n^2+3n)/n^2 , 令 bn = π(n^2-3n)/n^2 , cn = π(n^2+3n)/n^2 

lim bn = π , lim cn = π , 故由夾擠定理, lim  an / n^2 =  π . 

1 +2 = (1+2)*2/2 

1+2+3 =(1+3)*3/2 

.... 

1+2+3+4+ ...+ n =  (1+n)*n/2 

1/(1+2) + 1/(1+2+3) + 1/(1+2+3+4) + ... + 1/(1+2+3+...+n) = 

2/3*2 + 2/4*3 + ... + 2/n*(n+1) = 2 [ 1/2*3 + 1/3*4 + ... + 1/n*(n+1) ] =  2[ (1/2 - 1/3) + (1/3-1/4) + ...+ (1/n- 1/(n+1) ) ] = 2[ 1/2 - 1/(n+1) ] , lim 2[ 1/2 - 1/(n+1) ]  = 2*1/2 = 1 , 1+1 =2    　　 

      

9. 已知無窮等比級數的和為 16，且前三項的和為18，試求此無窮等比級數偶數項的和

 假設此等比級數第一項a1 = a , 公比為 r ; 所以 S = a +ar + ar^2 + ... + = a(1+r+r^2+...)= a/(1-r) = 16 , a = 16(1-r)  

又因為 a1+a2+a3 = 18 , a(1+r+r^2) = 18 , 16(1-r)(1+r+r^2) =18 , 1 -r^3 = 9/8 , r^3 = -1/8 , r = -1/2 . 

a = 16(1+1/2) = 16*3/2 = 24 , a2 = 24*-1/2 = -12 , .... 

發現偶數項皆為負數, a2+a4+a6+ ... = -12 + -3 + ... , 公比為 1/4 . 

- 12 + (-3) + ... + ... = -(12+3+...+...) = - (12/1-1/4) = - (12*4/3) = -16 

10. 已知首項為 2的無窮等比級數的和為 6，求 n的最小值，使得其前n項的和Sn滿足 |6-Sn| < 1/1000 . 

已知 a1 = 2 , S = 6 , S = 2 + 2r + 2r^2 + ... = 6 . 2(1+r+...) = 6 , 1+r+r^2+ .. = 3 . 前 n 項之和 Sn = 2+2r+2r^2 + ...+2r^n = 2(1+r+r^2+...+r^n) = 2(1-r^n+1)/(1-r)

1/1-r = 3 , 1-r =1/3 , r = 2/3 . 

|6-Sn| = 2 |3 - [1-r^(n+1)/1-r] | < 1/1000 , |3 - [1-r^(n+1)/1-r] | < 1/2000 , | r^n+1| < 1/6000 , r^n+1 < 1/6000 = (6000)^-1 , (n+1)log r < - log(6000) , (n+1)(log2-log3) < - (log6+log1000) 

(n+1)(log2-log3) < - (3+ log 2+ log 3) , n+1 < - (3+ log 2+ log 3) / (log2 -log3) = (3 + 0.7781) / (-0.1761) , n+1 > 3.7781 /0.1761 , n+1 > 21.454287 ... , n =22 . 

11. 一皮球自離地面 10公尺高處落下，每次反跳高度為其落下時高度的1/3，求此球自落下到靜止時所經過的距離. 

由題意,皮球的高度起始為10m , 即h1. h2 = 1/3*h1 ,  ... 球到靜止時的狀態及高度為0 .　

10 + 2(10/3 + 10/9 + ... + 10/3^n + ...) = 10+20(1/3+1/9+ ...+1/3^n + ... ) = 10 +20*1/3/1-1/3 = 10 + 20/3*3/2 = 10 + 10 = 20 (注意每次bounce distance 為上升＋下降) 

由題意,ABC 為直角三角形, AC^2 = AB^2+ BC^2 , AC^2 = 400 + 900 = 1300 , AC =  10√13

三角形 CEE' ~ 三角形 CAB , 假設正方形 S1邊長為s , 故 

  

類題補充

1. 試求無窮級數0.9 + 0.099 + 0.00999 + ... 的和。

    S =  0.9 + 0.099 + 0.00999 + ... 

100S = 90 + 9.9 + 0.999 + 0.09999 +  ... 

  99S = 90 + 9 + 0.9 + 0.09 + ... 

  99S = 9(10+1+0.1+0.01 + ... ) 

  99S = 9(10/1-1/10) , 99S = 9*10/9/10 , 99S = 90 * 10/9  , 99S = 100 , S = 100/99 

   

2. 將 16241/49950 化成小數時，小數點後第51位數字是多少？ 

49950 = 10 * 4995 = 10 * 5 * 999 

16241 / (50 *999) = 

3/5 + 9/25 + ... = S1 , r1 = 9/25*5/3 = 3/5 

-2/5 +4/25 - 8/125 + .... = S2 , r2 = 4/25 * -5/2 = -2/5 

所以 S1 = 3/5 / 1-3/5 = 3/5 * 5/2 = 3/2 , S2 = -2/5 / 1+2/5 = -2/5 * 5/7 = -2/7 

S1+S2 = 3/2 - 2/7 = 21/14 - 4/14 = 17/14 

因為已知此無窮等比級數的和為4 , 故其為收斂數列, 令 r 為其公比, |r| < 1 ; 

S = 4 = a(1+r+r^2+ ...) , a2 = -3  , a ≠ 0  ;  

4 = a /1-r ,  4r = 4 - a , a2 = -3 = ar , r = -3/a , a^2 -4a - 12 = 0 , (a-6)(a+2) = 0 , a = 6 or -2  

a = 6 , r = -3/6 = -1/2 

a = -2 , r = 3/2 ,  不合　

前n 項和 Sn , 即 為收斂數列 , 由公式 Sn = a1 *( 1- r^n) / 1- r 

S10 = (-1)*(1-r^10)/1-r 

S5  =  (-1)*(1-r^5)  /1-r 

S10/S5 = 1 - r^10 / 1 - r^5  = 31/32 

let r^5 = x , then 1- x^2 = 31/ 32 , 32 (1-x^2) = 31 , 32 - 32x^2 = 31 , 32*x^2 = 1 , x^2 = 1/32 ,  x= 1/4*2^1/2   

已知無窮級數收斂, 即期公比為 r , r = 2-3x ; |r| < 1 , |2-3x| < 1 ; 

-1 < 2-3x <  1 , -1 -2 < -3x < 1- 2 , -3 < -3x < -1 , 1 < 3x < 3 , 1/3 < x < 1. 

(2)令S為無窮級數之和 , S = (2-3x) / 1- (2-3x) = 2-3x/ (3x-1) = 2x    , 2x(3x-1) = 2 -3x , 

 6x^2 -2x = 2 -3x , 6x^2 + x - 2 = 0 , (3x+2)(2x-1) = 0  ; x =-2/3 , x = 1/2 

x = - 2/3 , r = 2- (-2) = 4 > 1 不合. 

x = 1/2   , r = 2 - 3/2 = 1/2 　符合 

假設有一個無窮等比級數 a1+a2+ ...+ an + ... , r = 0.01

a1 = a , a2 = ar , ...

a1+a2+a3 + ...+ an + ... = a+ar +ar^2+ ... = a(1+r+r^2+...) = a(1/1-r) 

0.1(2) = 0.122222.... 令 x = 0.1222222 ... 

100x = 12.222222 ...

10x = 1.222222 ...

90x = 11 

x = 11/90 = a/1-r , 11/90 = a/ 1- 1/100 ,  11/90 = a/99/100 , 11/90 = 100a/99 ., a = 121/1000 

  

a/2 + b/2^2 + a/2^3 + ... + a/2^(2n-1)+ b/2^2n + ... 

= [ a/2 + a/2^3 + ...+a/2^(2n-1) + .. ] + [ b/2^2+b/2^4 + ...+b/2^2n + ...] 

= a[1/2+1/8 + ...] + b[1/4+1/16+ ...] 

= a/2(1+1/4+ ...) +b/4(1+1/4+...) 

=a/2(1/1-1/4)+b/4(1/1-1/4) 

=a/2(4/3) +b/4(4/3) 

=2a/3 + b/3 = (2a+b)/3 = 3 

2a+b = 9 

   

使用夾擊定理 n/(n^2+n)^1/2 < 1/(n^2+1)^1/2 + 1/(n^2+2)^1/2 + ... + 1/(n^2+n)^1/2 < n/(n^2+1)^1/2     lim n/(n^2+n)^1/2 = 0 , lim n/(n^2+1)^1/2  = 0 , 故 lim [1/(n^2+1)^1/2 + 1/(n^2+2)^1/2 + ... + 1/(n^2+n)^1/2] = 0 

10. 已知首項為a、公比為r的無窮等比級數和等於5；首項為a、公比為3r 的無窮等比級數和等於7，則首項為a、公比為2r的無窮等比級數和等於？ 

S1 = 5 = a + ar + ... ,

S2 = 7 = a+ 3ra + ... 

S1 = 5 = a(1+r+r^2+ ...)  , 5/a = 1+r+r^2+ ... , 5/a = 1/(1-r) , 5(1-r) = a 

7 = a(1+3r + 9r^2 + ...) = 7/a = 1/1-3r , 7/a = 1/1-3r , 7(1-3r) = a    

5(1-r) = 7(1-3r) , 5 - 5r = 7 - 21r , -2 = -16r , 1/8 = r , a=5(1-1/8) = 35/8 

35/8 + 1/4 *35/8 + ... = 35/8(1+1/4+ ...) = 35/8*1/1-1/4 = 35/8*4/3= 35/6 

加強練習 

原式 = 1/3[(1-1/4)+ (1/4-1/7)+ ...+(1/3n-2 - 1/3n+1) ] 

= 1/3(1-1/3n+1) , lim (1/3(1-1/3n+1)) = 1/3 

原來正方形面積為1024 , 1024 = 2^10 = 2^5 * 2^5 = 32 * 32 , 故邊長為 32  

A1 為原正方形面積中白色面積和 =  2*16^2
A2 為原正方形面積中白色面積中一個再分割 = 2*8^2
A3 為原正方形面積中白色面積中一個再分割 = 2*4^2

A1+A2+A3 = 16^2 + 8^2 + 2*4^2 = 2^8 + 2^6 + 2^4 + 2^4  = 2^8(1+1/4+1/16) + 2^4
... 類推
若分割到n次則結果如下 :
A1+A2+A3 + ... = 2^8(1+1/4+ .... +4^-(n-1)) + 2^


3. 已知一無窮等比級數的首項為0.(3)，第二項為0.(06)，試求此級數的和。

 x = 0.333333... = 3/9
 y = 0.060606...
100y = 6.060606... = 6 + y
99y = 6 , y = 6/99= 2/33
y/x = 2/33*9/3 = 2/33*3 = 2/11 , r = 2/11 , |r| < 1
S = 1/3/(1-2/11) = 1/3*11/9 = 11/27

n 是正整數 , n ≤ 2ⁿ ,  n /3ⁿ  ≤ 2ⁿ/3ⁿ ⇒ 1/3ⁿ ≤ n /3ⁿ  ≤ 2ⁿ/3ⁿ 

令 bn =  1/3ⁿ , cn = n /3ⁿ , an = n/3ⁿ  

^{由夾擊定理 , lim an = 0} 

  
^{(1) 既然有一實根, 由題意 xn , 介於 0與1/n之間 , 由勘根定理, f(x) = n^2x^3 + nx -1 , 
    f(0) = -1 < 0 , f(1/n) = 1/n + 1 - 1 = 1/n > 0 (因為n為正整數) 
    f(0)f(1/n) < 0 , [0,1/n] 之間必有一實根. 即 xn 符合.  
  (2) xn 是當f(x) = 0 時,所求出的實根 , 因為xn 介於 0 與1/n 之間, 故 0 < xn < 1/n 
       lim 0 = 0 , lim 1/n = 0 , 由夾擠定理, lim xn = 0} 

    


已知 n/n^2+n ≤ n/n^2+k ≤ n/n^2+1 ,　
　n/n^2+1 +n/n^2+2 + ... + n/n^2+n < n(n/n^2+1)  ---- (1)  
    n(n/n^2+n) < n/n^2+1 +n/n^2+2 + ... + n/n^2+n  ---- (2)

    由(1)(2)得知 , (n/n^2+n) < n/n^2+1 +n/n^2+2 + ... + n/n^2+n  < (n/n^2+1)
     令 bn =   (n/n^2+n) , cn = (n/n^2+1) ; lim bn = 1 , lim cn = 1  , 故由夾擊定理 lim an = 1 

正外接及內接n多邊形

(1) Sn  = (1/1*2 - 1/2*3 ) + (1/2*3 - 1/3*4 ) + ... + (1/n*(n+1) - 1/(n+1)*(n+2) )  = 1/2 - 1/(n+1)*(n+2)
(2) lim (1/2- 1/(n+1)*(n+2) ) = 1/2  

觀察一下, 基數項皆有2的乘項, 故分離出來,上式如下:
(2/10 + 2/10^3 + ... + 2/10^2n-1 + ... ) +(1/10^2+1/10^4 + ... +1/10^2n + ...)
= 2(1/10 + 1/10^3+ ...) + 1/10^2(1+1/10^2+ ... )
= 2/10(1+1/10^2+ ...)+ 1/10^2(1+1/10^2+ ...)
= (2/10+1/100)(1+1/100 + ... )
= (20/100+1/100)(1+1/100+...)
= 21/100(1+1/100+ ...)
=21/100(1/1-1/100) = 21/100*100/99 = 21/99 =7/33

n = 1  , 4 - 1 / 25 = 3/25
n = 2  , 16 - 2 / 125 = 13 / 125
n = 3  , 64 - 4 = 60 / 625
... 看起來好像不容易找出一個pattern
4 -1 / 25 + 16 -2 /125 + 64 -4 /625 + ...
=  4/25 + 16 /125 + 64 /625 + ... ) - ( 1/25 + 2/125+4/625 + .. )
16/125 * 25/4 = 4/5 , r < 1 ; 2/125 * 25/1= 2/5 , r < 1
= S1-S2 , 求出 S1, S2 即可

(1) 因為 < (3x-1)^n > 為收斂 , |3x-1| < 1 , -1 < 3x -1 < 1 , 0 < 3x < 2 , 0 < x < 2/3 . 但是只有這樣嗎 ? 若 x = 2/3 , 每一項皆為 0, 即 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , ... 也是收斂. 所以 0 < x ≤ 2/3 
(2) 若 x = 2/3 , 3x - 1 = 2- 1 = 1 , 級數 =1+1+1+1+ ...+ 1+ ... 會發散.

(1) 此級數的前n項部分和為 Sn ，則  Sn =？ (2)此無窮等比級數的和為S ，則S =？

(3) 若欲使  |S - Sn| < 1/1000 成立，則最小正整數 n =？ 

(1) Sn = 1+1/3+1/9+ ...+ 1/3^n-1 ,
發現公比 r , r = 1/3 .
S = 1/1-1/3 = 3/2