3−1 一次聯立方程式與矩陣

3−1 一次聯立方程式與矩陣
3−1 一次聯立方程式與矩陣

◎能寫出一次聯立方程式與增廣矩陣。 

◎能利用矩陣的列運算解一次聯立方程式。 

◎介紹解聯立方程式系統化的方法：高斯消去法。 

◎能利用列運算判斷一次聯立方程式無解或無限多組解

一、一次聯立方程式的矩陣表示法 一 一次聯立方程式的矩陣表示法：

◎矩陣的定義：對於聯立方程式

◎係數矩陣與增廣矩陣 : 
(1) 將聯立方程式的係數依序列出來的矩陣稱為係數矩陣。
(2) 將聯立方程式的係數及常數項依序列出來的矩陣稱為增廣矩陣。

【觀念釐清】當未知數的順序固定時，每一個聯立方程式都與一個增廣矩陣互相對應。

練習 1：寫出聯立方程式 

的係數矩陣與增廣矩陣。 

增廣矩陣的形式為 [A|B] ; A 為係數矩陣 , B 為等號右邊矩陣 

練習 2：已知一個三元一次聯立方程式所含未知數的順序依次為 x ,y, z ，且其增廣矩陣為如下，請寫出此聯立方程式。

二、一次聯立方程式 一次聯立方程式與矩陣的列運算： 

◎矩陣的列運算：(矩陣與行列式不同，矩陣只有列運算，沒有行運算。) 

觀察解聯立方程式的過程中，有三種列運算並不影響聯立方程式的解，分別是 

 (1)將兩列對調。 Eij

 (2)將某一列乘以不為 0 的數。 kEi , k is a non-zero constant 

 (3)將某一列乘以一個數後再加到另一列。kEi+Ej  

【說明】將解一次聯立方程式的計算過程，與利用分離係數法表示成增廣矩陣的計算過程對照如下：

◎上述利用列運算解一次聯立方程式的方法稱為高斯消去法。將其計算步驟歸納如下： 

 (1) 作列運算使第一列第一行的數為 1，且使第二列 , 第三列, 第一行 、第三列第一行的數字為0。 

 (2)作列運算使第二列第二行的數為 1，且使第三列第二行的數字為 0。 

 (3)作列運算使第三列第三行的數為 1。 

【觀念釐清】利用矩陣的列運算來求解未知數很多的一次聯立方程式，可使求解的方法系統化。

【觀念釐清】將三元一次聯立方程式之增廣矩陣用列運算化簡的過程中， 

 (1) 若有一列的元除了最右邊的數不為 0 外，其餘各數都是 0，則原聯立方程式無解。 

 (2) 若有一列全為 0，則原聯立方程式有無限多組解

練習 10：試就實數a 的值，討論聯立方程式 的解

將上聯立方程式化成augmented matrix , [A|B] ; 再用列基本運算化為echelon form 比較再看看a的值