1-3 獨立事件
◎了解兩事件獨立的意義。
◎了解兩事件A，B獨立時，A與B′，A′與B，以及A′與B′也都是獨立事件。
◎了解三事件獨立的定義。
◎能利用獨立的特性求事件的機率。
一、兩事件獨立的定義與性質：
◎兩事件獨立的定義：當兩事件A與B滿足P(A∩B) = P(A)*P(B) 時，稱A與B為獨立事件，否則稱為相關(或相依)事件。
【說明】若箱子中有3 紅球，1 白球，從箱中每次取一球，取後放回，連取兩次。
分析可能的狀況如下 : 假設紅球皆異 r1 , r2 ,r3 , 白球 w .
第一次取: r1 , r2 , r3 , w : 共四種 ,第二次取也是四種 .
設 A 表示「第一次取出白球」的事件，B 表示「第二次取出白球」的事件。
因為每次取回皆放回, 故無論取什麼顏色球機率皆為 1/4 . P(A) = 1/4 , P(B) = 1/4.
那如果第1次取出為白球,且第2次取出亦為白球的機率為 P(B|A) = 1/4 , P(B) = P(B|A) ; 所以 , 可以看出事件 B 不會因為事件 A 爾有所影響. 故 A, B 事件為獨立事件.
P(B|A)P(A) = P(A∩B) = P(B)P(A)
【觀念釐清】獨立事件 ≠ 互斥事件。
練習 1：獨立地丟一枚均勻的硬幣兩次，令A表第一次丟出正面的事件，B表兩次出現同一面的事件，試問A與B兩事件是否獨立？
Tossing a fair coin twice. An event represents the coin appears head on 1st time . P(A) = 1/2
B is an event that has two same appearances . P(B) = 1/4 + 1/4 = 1/2 (TT,HH)
P(A∩B) = 1/4 = P(A)*P(B). Yes.
練習 2：擲一個公正的骰子，若A表示出現奇數點的事件，B表示出現偶數點的事件，C表示出現1點或 4點的事件。試判別下列各組事件為獨立或相關：(1)A與C (2)A與B (3)B與C。
Tossing a fair dice , all possible outcomes are 1,2,3,4,5 and 6 . A event collects { 1,3,5 } , P(A) = 3/6 = 1/2. B = {2,4,6} , P(B) = 3/6 = 1/2. C = {1,4} , P(C) = 2/6 = 1/3 .
(1) P(A)P(C) = 1/2*1/3 = 1/6 , P(A∩C) = 1/6
(2) P(A)P(B) = 1/2*1/2 = 1/4 , P(A∩B) = 0
(3) P(B)P(C) = 1/2*1/3 = 1/6 , P(B∩C) = 1/6
◎推論：若A與B為獨立事件，則事件A′與B，A與B′，A′與B′均為獨立事件。
【說明】若箱子中有3 紅球，1 白球，從箱中每次取一球，取後放回，連取兩次。
分析可能的狀況如下 : 假設紅球皆異 r1 , r2 ,r3 , 白球 w .
第一次取: r1 , r2 , r3 , w : 共四種 ,第二次取也是四種 .
設 A 表示「第一次取出白球」的事件，B 表示「第二次取出白球」的事件。
因為每次取回皆放回, 故無論取什麼顏色球機率皆為 1/4 . P(A) = 1/4 , P(B) = 1/4.
那如果第1次取出為白球,且第2次取出亦為白球的機率為 P(B|A) = 1/4 , P(B) = P(B|A) ; 所以 , 可以看出事件 B 不會因為事件 A 爾有所影響. 故 A, B 事件為獨立事件.
P(B|A)P(A) = P(A∩B) = P(B)P(A)
【觀念釐清】獨立事件 ≠ 互斥事件。
練習 1：獨立地丟一枚均勻的硬幣兩次，令A表第一次丟出正面的事件，B表兩次出現同一面的事件，試問A與B兩事件是否獨立？
Tossing a fair coin twice. An event represents the coin appears head on 1st time . P(A) = 1/2
B is an event that has two same appearances . P(B) = 1/4 + 1/4 = 1/2 (TT,HH)
P(A∩B) = 1/4 = P(A)*P(B). Yes.
練習 2：擲一個公正的骰子，若A表示出現奇數點的事件，B表示出現偶數點的事件，C表示出現1點或 4點的事件。試判別下列各組事件為獨立或相關：(1)A與C (2)A與B (3)B與C。
Tossing a fair dice , all possible outcomes are 1,2,3,4,5 and 6 . A event collects { 1,3,5 } , P(A) = 3/6 = 1/2. B = {2,4,6} , P(B) = 3/6 = 1/2. C = {1,4} , P(C) = 2/6 = 1/3 .
(1) P(A)P(C) = 1/2*1/3 = 1/6 , P(A∩C) = 1/6
(2) P(A)P(B) = 1/2*1/2 = 1/4 , P(A∩B) = 0
(3) P(B)P(C) = 1/2*1/3 = 1/6 , P(B∩C) = 1/6
◎推論：若A與B為獨立事件，則事件A′與B，A與B′，A′與B′均為獨立事件。
練習 3：若A與B為獨立事件，且 P(A) = 1/ 2 , ， P (A∪B ) = 2/3 求(1) P(B) (2) P(A∩B) (3) P(B|A')
(1) Since A, B are independent events , P(B)P(A) = P(A∩B) .
P (A∪B ) = P(A)+P(B) - P(A∩B) = P(A)+P(B) - P(B)P(A) = P(A) (1-P(B)) + P(B) = 2/3 ,
1/2 (1-P(B)) + P(B) = 2/3 , 1/2 - 1/2*P(B) + P(B) = 2/3, 1/2 +1/2P(B) = 2/3 , 1/2P(B) = 2/3 -1/2 = 1/6 . P(B) = 1/3
(2) 2/3 = 1/2+1/3 - P(A∩B) , 4/6 - 3/6 - 2/6 = - P(A∩B) , P(A∩B) = 1/6
(3) P(B|A') = P(B∩A') / P(A') , P(B∩A') = P(B)P(A') = 1/3(1-1/2) = 1/6 , P(B|A') = P(B∩A') / P(A') = 1/6 / 1/2 = 1/3
練習 4：若A與B為獨立事件，且 P(A) = 1/2 , P(B) = 2/3 , (1) P(B'|A') (2) P(A'∪B')
因為 A與B為獨立事件 , P(A∩B) = P(A)P(B) = 1/3
(1) P(B'|A') = P(A'∩B') / P(A') = P(A')P(B') / P(A') = P(B') = 1- P(B) = 1/3
(2) P(A'∪B') = 1 - P(A∩B) = 1- 1/3 = 2/3
二、三事件獨立的定義與性質：
◎三事件獨立的定義：對任意三事件A,B,C，當下列條件均成立時，稱A,B,C 三事件獨立。
P(A∩B)= P(A)P(B)；P(B∩C) = P(B)P(C)；P(A∩C)= P(A)P(C) ；
(1) Since A, B are independent events , P(B)P(A) = P(A∩B) .
P (A∪B ) = P(A)+P(B) - P(A∩B) = P(A)+P(B) - P(B)P(A) = P(A) (1-P(B)) + P(B) = 2/3 ,
1/2 (1-P(B)) + P(B) = 2/3 , 1/2 - 1/2*P(B) + P(B) = 2/3, 1/2 +1/2P(B) = 2/3 , 1/2P(B) = 2/3 -1/2 = 1/6 . P(B) = 1/3
(2) 2/3 = 1/2+1/3 - P(A∩B) , 4/6 - 3/6 - 2/6 = - P(A∩B) , P(A∩B) = 1/6
(3) P(B|A') = P(B∩A') / P(A') , P(B∩A') = P(B)P(A') = 1/3(1-1/2) = 1/6 , P(B|A') = P(B∩A') / P(A') = 1/6 / 1/2 = 1/3
練習 4：若A與B為獨立事件，且 P(A) = 1/2 , P(B) = 2/3 , (1) P(B'|A') (2) P(A'∪B')
因為 A與B為獨立事件 , P(A∩B) = P(A)P(B) = 1/3
(1) P(B'|A') = P(A'∩B') / P(A') = P(A')P(B') / P(A') = P(B') = 1- P(B) = 1/3
(2) P(A'∪B') = 1 - P(A∩B) = 1- 1/3 = 2/3
二、三事件獨立的定義與性質：
◎三事件獨立的定義：對任意三事件A,B,C，當下列條件均成立時，稱A,B,C 三事件獨立。
P(A∩B)= P(A)P(B)；P(B∩C) = P(B)P(C)；P(A∩C)= P(A)P(C) ；
P(A∩B∩C) = P(A)P(B)P(C)
練習 5：擲一個公正的骰子一次，A表示出現點數為 6的因數之事件，B表示出現點數為 4的因數之事件，C表示出現點數為偶數的事件。
6的因數有 1,2,3,6 ; P(A) = 4/6 = 2/3
4的因數有 1,2,4 ; P(B) = 3/6 = 1/2
偶數 2,4,6 , P(C) = 3/6 = 1/2
同為4及6的因數 2 , P(AB) = 1/6 , P(A)P(B) = 1/3 . 不等
同為4及6的因數且為偶數 2 , P(ABC) = 1/6 = 2/3*1/2*1/2 = P(A)P(B)P(C)
練習 6：擲一個公正的骰子2次，A表示第一次出現偶數點的事件，B表示第二次出現偶數點的事件， C表示出現點數和為7或 8的事件。試問A,B,C三事件是否獨立？
A = {2,4,6} , B = {2,4,6} , C = {(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)}
P(A) = 3*6/36 = 3/6 = 1/2 , P(B) = 1/2 , P(C) = 12/36 = 1/3
AB = { (2,2),(4,4),(6,6) } , ABC = { (4,4)} P(ABC)= 1/36
P(A)P(B)P(C) = 1/4 *1/3 = 1/12 , 故 A,B,C 非獨立
【觀念釐清】要計算獨立事件的機率，先算出其對應的個別機率再相乘。
練習 6：擲一個公正的骰子2次，A表示第一次出現偶數點的事件，B表示第二次出現偶數點的事件， C表示出現點數和為7或 8的事件。試問A,B,C三事件是否獨立？
A = {2,4,6} , B = {2,4,6} , C = {(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)}
P(A) = 3*6/36 = 3/6 = 1/2 , P(B) = 1/2 , P(C) = 12/36 = 1/3
AB = { (2,2),(4,4),(6,6) } , ABC = { (4,4)} P(ABC)= 1/36
P(A)P(B)P(C) = 1/4 *1/3 = 1/12 , 故 A,B,C 非獨立
【觀念釐清】要計算獨立事件的機率，先算出其對應的個別機率再相乘。
練習 7：盒中有 6張大小相同的卡片，分別標示號碼1，2，2，3，3，3。今從中一次取出一張，取完都再放回，連取三次。求
(1)連續三次都取出 1的機率。
(1)連續三次都取出 1的機率。
(2)三次的總和為 6的機率。
(1) 6 張卡片 共有3類數字,即 1,2,3. 機率為P(1) = 1/6 , P(2) = 2/6 = 1/3 , P(3) = 3/6= 1/2
因為每次取出來的卡皆放回, 故 取3次皆為1的機率為 P(1)*P(1)*P(1) = 1/216
(2) 三次的總和為 6 的可能組合為 : x+y+z = 6 , 分析一下, x,y,z 中任一數皆不能大於5 .
x = 1 , y+z = 5
y,z 組合可能為 : (2,3),(3,2) --- 6+6 = 12
x = 2 , y+z = 4
y,z 組合可能為 : (1,3),(2,2),(3,1) --- 8 + 3*2 = 8 + 6 = 14
x = 3 , y+z = 3
y,z 組合可能為 : (1,2),(2,1) --- 3*2+3*2 = 6+ 6 = 12
y,z 組合可能為 :但卡片有6張. 其中2 兩張, 3 三張. 4不合
故為 (2,3) : 6 種 , (3,2) : 6 種
(1,3) : 3 種 , (2,2) : 4 種 , (3,1) : 3 種
(1,2) : 2 種 , (2,1) : 2 種
12 + 10*3 + 4 = 26
練習 8：阿呆上學時須經過三處路口，在三處路口遇到紅燈的機率依次為0.4，0.4，0.6。設此三處的紅綠燈號誌均互相獨立。求阿呆上學時
(1)接連遇到三個紅燈的機率。
(2)最多只遇到一次紅燈的機率。
(1) 假設三處路口為 X,Y,Z. 故P(X) = 4/10 = 2/5 , P(Y) = 2/5 , P(Z) = 3/5 . 此3 處皆為獨立事件.
iff P(XY) = P(X)P(Y) , P(YZ) = P(Y)P(Z) , P(XZ) = P(X)P(Z) , P(XYZ) = P(X)P(Y)P(Z)
P(XYZ) = 2/5 * 2/5*3/5 = 12 /125
(2) 最多只遇到一次紅燈的機率 , 即3處路口,只有0 或 1 次encounter red light.
cross road 1 cross road 2 cross road 3
G G G P(X')P(Y')P(Z') = 3/5 * 3/5 *2/5 = 18/125
R G G P(X)P(Y')P(Z') = 2/5 * 3/5 *2/5 = 12/125
G R G P(X')P(Y)P(Z') = 3/5 * 2/5 *2/5 = 12/125
G G R P(X')P(Y')P(Z) = 3/5 * 3/5 *3/5 = 27/125
30/125 + 39 /125= 69 /125
◎推論：當三事件ABC , , 為獨立事件時，若將其中某些事件改為它的餘事件，也可推得新的三個事件亦為獨立事件，例如ABC′, AB'C' , A'B'C′；…等也是獨立事件
練習 9：甲、乙、丙三人射擊的命中率分別為 1/4, 2/3 ,4/5 ，且三人命中靶面的事件均為獨立事件，今三人同射一靶，每人各射一發，求靶面恰中一發的機率。
P(甲) = 1/4 , P(乙) = 2/3 , P(丙) = 4/5
靶面恰中一發的機率 = P(甲∪乙∪丙) = P(甲) + P(乙) + P(丙) - P(甲乙) - P(乙丙) - P(甲丙) + P(甲乙丙) = 1/4 + 2/3 + 4/5 - 1/4*2/3 - 2/3*4/5 - 1/4*4/5 + 1/4*2/3*4/5 = 19/60
練習 10：設甲、乙、丙三人的解題能力分別為 1/3, 4/5, 3/4 ，且彼此互不影響。今三人合解一道問題， 求(1)恰一人解出的機率。(2)此題被解出的機率。
由題意得知 , P(甲) = 1/3 , P(乙) = 4/5 , P(丙) = 3/4 ; 且為獨立事件 (因為彼此互不影響) .
恰一人解出的機率 = P(甲∪乙∪丙) = P(甲) + P(乙) + P(丙) - P(甲乙) - P(乙丙) - P(甲丙) + P(甲乙丙) = 1/3 +4/5 + 3/4 - 1/3*4/5 - 1/3*3/4- 4/5*3/4 +1/3*4/5*3/4 = 1/4
(2) 此題被解出的機率 只有兩種 ; 解不出 or 解出來
P(甲'乙'丙') = 三人皆解不出來的機率 = 2/60 = 1/30 , 全部機率 - 三人皆解不出來的機率 = 被解出來的機率 = 29/30
練習 11 : 某公司有員工 124人，其性別與國籍列表如下：
(1)從中抽出一人，令A表此人是男性的事件，B表此人是本國籍的事件，則A與B是否為獨立事件？
試問：「性別」與「車種顏色」是否為獨立事件？
P(A) = 30 /50 = 3/5 ,P(C) = 30 / 50 = 3/5
So P(A)P(C) = P(AC) ; A , C are independent events .
P(B) = 20 / 50 = 2/5 , P(D) = 20/ 50 = 2/5
P(BD) = 8/50 = 4/25
So P(BD) = P(B)P(D) ; B, D are independent events .
所以 性別與車顏色為獨立事件
習題
1. 丟一枚均勻的硬幣兩次，令A表第一次丟出反面的事件，B表第二次丟出正面的事件，C表出現 一次正面的事件，(1)B,C 兩事件是否獨立？(2)A, B , C三事件是否獨立？
(1) Tossing a fair coin twice , all possible outcomes are 4 ones .
A : tail / 1st time , B : head / 2nd time
假設乙,丙機率分別為P(乙), P(丙) , 且P(乙) > P(丙) ; 又知道三人向同靶各射擊一發子彈，三人彼此互不影響, 故為獨立事件. (也就是說三人同時開槍皆不彼此影響).
靶面恰中一彈的機率為 5/12 , P(甲乙'丙') +P(甲'乙丙')+P(甲'乙'丙) = 5/12
P(甲乙) = P(甲)P(乙) , P(甲丙) = P(甲)P(丙) , P(丙乙) = P(丙)P(乙) , P(甲乙丙) = P(甲)P(乙)P(丙). 又知靶被射中的機率為 9/10, P(甲∪乙∪丙) = P(甲) + P(乙) + P(丙) - P(甲乙) - P(乙丙) - P(甲丙) + P(甲乙丙) = 9/10
為了簡化,假設 P(乙) = x , P(丙) = y . 因為為獨立事件, 所以
9/10 = 3/5 + x+ y - 3/5x - xy - 3/5y +3/5xy
9/10 - 3/5 = 2/5x +2/5y +2/5xy
3/10 = 2/5 (x+y+xy)
3/10 *5/2 = 3/4 = x+y+xy
P(甲乙'丙') +P(甲'乙丙')+P(甲'乙'丙) = 5/12
3/5(1-x)(1-y) + 2/5x(1-y) + 2/5(1-x)y = 5/12
3(1-x)(1-y) + 2x(1-y) + 2(1-x)y = 25/12
3(1-x-y+xy)+2(x-xy)+2(y-xy) = 25/12
3xy - 2xy -2xy + (2x+2y-x-y) + 3 = 25/12
-xy +x+y = 25/12
2(x+y) = 3/4+ 25/12 = 9/12 + 25/12 = 34/12
x+y = 17/12
xy = 3/4 - 17/12 =
4. 投擲一粒公正的骰子n次，並記錄其出現點數。求
(1) 均未出現 1點的機率。
試判斷該公司性別與主管職務是否為獨立事件？
7. 右方電路圖中有 5個開關，電流通過各開關的機率均為 1/3 , 且各開關的操作獨立。求電流從左端流到右端的機率。
兩人同解此題，每人解題互不影響 , 即為獨立事件.
P(甲) = 3/4 , P(乙) = 2/3 , P(甲乙) = P(甲)P(乙)
(1)甲、乙均能解出之機率 , 即 P(甲乙) = P(甲)P(乙) = 3/4*2/3 = 6/12 = 1/2
(2)恰有一人解出之機率 , 即 P(甲乙'∪甲'乙) = P(甲乙') + P(甲'乙) - 0 .
P(甲乙') = P(甲)P(乙') = 3/4*(1-2/3) = 3/4*1/3 = 1/4
P(甲'乙) = P(甲')P(乙) = (1-3/4)*2/3 = 1/4*2/3 = 1/6
所以機率為 1/4+ 1/6 = 6/24 + 4/24 = 10/24 = 5/12
(3)甲、乙均解不出之機率 , 即P( 甲'乙') = P(甲')P(乙') = (1-3/4)*(1-2/3) = 1/4*1/3 = 1/12
(4)此題被解出之機率 , 即 1 - 甲、乙均解不出之機率 = 1 -1/12 = 11/12
(5)若已知恰有一人解出 , 因為只有甲、乙兩人, 不知道是誰解出來的,所以先要扣除
P(甲乙) 兩者都解得出來 , 及兩者皆解不出來P(甲'乙')
1 - P(甲乙) - P(甲'乙') = 1 - 1/2 - (1-3/4)(1-2/3) = 1/2 - (1/4)(1/3) = 1/2 - 1/12 = 6-1/12 = 5/12
所以5/12 為恰一人解出來的機率 ; 即 P(甲乙'∪甲'乙) = P(甲乙') + P(甲'乙) = P(甲)P(乙') +
P(甲')P(乙) = 5/12 = P(甲)(1-2/3) + (1-P(甲))2/3 .
5/12 = 1/3 P(甲) + 2/3 ((1-P(甲))
5/12 = x/3 +2/3(1-x)
5/4 = x + 2(1-x)
5 = 4x + 8-8x
-3 = - 4x
3/4 = x
(1) 6 張卡片 共有3類數字,即 1,2,3. 機率為P(1) = 1/6 , P(2) = 2/6 = 1/3 , P(3) = 3/6= 1/2
因為每次取出來的卡皆放回, 故 取3次皆為1的機率為 P(1)*P(1)*P(1) = 1/216
(2) 三次的總和為 6 的可能組合為 : x+y+z = 6 , 分析一下, x,y,z 中任一數皆不能大於5 .
x = 1 , y+z = 5
y,z 組合可能為 : (2,3),(3,2) --- 6+6 = 12
x = 2 , y+z = 4
y,z 組合可能為 : (1,3),(2,2),(3,1) --- 8 + 3*2 = 8 + 6 = 14
x = 3 , y+z = 3
y,z 組合可能為 : (1,2),(2,1) --- 3*2+3*2 = 6+ 6 = 12
y,z 組合可能為 :但卡片有6張. 其中2 兩張, 3 三張. 4不合
故為 (2,3) : 6 種 , (3,2) : 6 種
(1,3) : 3 種 , (2,2) : 4 種 , (3,1) : 3 種
(1,2) : 2 種 , (2,1) : 2 種
12 + 10*3 + 4 = 26
練習 8：阿呆上學時須經過三處路口，在三處路口遇到紅燈的機率依次為0.4，0.4，0.6。設此三處的紅綠燈號誌均互相獨立。求阿呆上學時
(1)接連遇到三個紅燈的機率。
(2)最多只遇到一次紅燈的機率。
(1) 假設三處路口為 X,Y,Z. 故P(X) = 4/10 = 2/5 , P(Y) = 2/5 , P(Z) = 3/5 . 此3 處皆為獨立事件.
iff P(XY) = P(X)P(Y) , P(YZ) = P(Y)P(Z) , P(XZ) = P(X)P(Z) , P(XYZ) = P(X)P(Y)P(Z)
P(XYZ) = 2/5 * 2/5*3/5 = 12 /125
(2) 最多只遇到一次紅燈的機率 , 即3處路口,只有0 或 1 次encounter red light.
cross road 1 cross road 2 cross road 3
G G G P(X')P(Y')P(Z') = 3/5 * 3/5 *2/5 = 18/125
R G G P(X)P(Y')P(Z') = 2/5 * 3/5 *2/5 = 12/125
G R G P(X')P(Y)P(Z') = 3/5 * 2/5 *2/5 = 12/125
G G R P(X')P(Y')P(Z) = 3/5 * 3/5 *3/5 = 27/125
30/125 + 39 /125= 69 /125
◎推論：當三事件ABC , , 為獨立事件時，若將其中某些事件改為它的餘事件，也可推得新的三個事件亦為獨立事件，例如ABC′, AB'C' , A'B'C′；…等也是獨立事件
練習 9：甲、乙、丙三人射擊的命中率分別為 1/4, 2/3 ,4/5 ，且三人命中靶面的事件均為獨立事件，今三人同射一靶，每人各射一發，求靶面恰中一發的機率。
P(甲) = 1/4 , P(乙) = 2/3 , P(丙) = 4/5
靶面恰中一發的機率 = P(甲∪乙∪丙) = P(甲) + P(乙) + P(丙) - P(甲乙) - P(乙丙) - P(甲丙) + P(甲乙丙) = 1/4 + 2/3 + 4/5 - 1/4*2/3 - 2/3*4/5 - 1/4*4/5 + 1/4*2/3*4/5 = 19/60
練習 10：設甲、乙、丙三人的解題能力分別為 1/3, 4/5, 3/4 ，且彼此互不影響。今三人合解一道問題， 求(1)恰一人解出的機率。(2)此題被解出的機率。
由題意得知 , P(甲) = 1/3 , P(乙) = 4/5 , P(丙) = 3/4 ; 且為獨立事件 (因為彼此互不影響) .
恰一人解出的機率 = P(甲∪乙∪丙) = P(甲) + P(乙) + P(丙) - P(甲乙) - P(乙丙) - P(甲丙) + P(甲乙丙) = 1/3 +4/5 + 3/4 - 1/3*4/5 - 1/3*3/4- 4/5*3/4 +1/3*4/5*3/4 = 1/4
(2) 此題被解出的機率 只有兩種 ; 解不出 or 解出來
P(甲'乙'丙') = 三人皆解不出來的機率 = 2/60 = 1/30 , 全部機率 - 三人皆解不出來的機率 = 被解出來的機率 = 29/30
練習 11 : 某公司有員工 124人，其性別與國籍列表如下：
(1)從中抽出一人，令A表此人是男性的事件，B表此人是本國籍的事件，則A與B是否為獨立事件？
(2)公司人事部門覺得似乎本國女性員工人數過少，為達到性別與國籍獨立的目標，應再增
聘幾名本國女性？
(1) P(AB) = P(A)P(B) , P(A) = 80 / 124 , P(B) = 44 /124 , P(AB) = 50/124 ; A,B 非獨立事件
(2) 假設應該增加本國女員工x名, 可使性別與國籍獨立
(20+x/44+x) = (20 + x/70 +x)(44+x/124+x)
練習 12：根據某汽車公司的資料，列出50名開車人士的性別及車種顏色如下：
試問：「性別」與「車種顏色」是否為獨立事件？
Male : 18 + 12 = 30 , Female : 12+ 8 = 20
Black : 18+ 12 = 30 , Non-Black : 12+ 8 = 20
Male & Black : 18 , Male & Non-Black : 12
Female & Black : 12 , Female & Non-Black : 8
A : Male , B: Female
C : Black , D: Non-Black
P(AC) = 18 / 50 = 9/25C : Black , D: Non-Black
P(A) = 30 /50 = 3/5 ,P(C) = 30 / 50 = 3/5
So P(A)P(C) = P(AC) ; A , C are independent events .
P(B) = 20 / 50 = 2/5 , P(D) = 20/ 50 = 2/5
P(BD) = 8/50 = 4/25
So P(BD) = P(B)P(D) ; B, D are independent events .
所以 性別與車顏色為獨立事件
習題
1. 丟一枚均勻的硬幣兩次，令A表第一次丟出反面的事件，B表第二次丟出正面的事件，C表出現 一次正面的事件，(1)B,C 兩事件是否獨立？(2)A, B , C三事件是否獨立？
(1) Tossing a fair coin twice , all possible outcomes are 4 ones .
A : tail / 1st time , B : head / 2nd time
TT,TH,HT,HH .
A : TT,TH , B: TH,HH , C: TH,HT
P(A) = 2/4 = 1/2 , P(B) = 2/4 = 1/2 , P(C) = 2/4 = 1/2
P(BC) = 1/4 = P(B)P(C) ; B,C are independent events .
(2) P(AC) = 1/4 =P(A)P(C)
P(AB) = 1/4 =P(A)P(B)
P(ABC) = 1/4 , P(A)P(B)P(C) = 1/8 ; A,B,C are not independent events .
2. 設兩事件A與B滿足 P(A) = 1/2 , P(A∪B) = 7/10
(1)設A與B為互斥事件，求P (B)。
(2)設A與B為獨立事件，求P (B)。
(1) A,B為互斥事件 , P(A∪B) = P(A)+P(B) = 1/2 + P(B) = 7/10 , P(B) = 7/10 - 5/10 = 2/10 = 1/5 (2) A,B為獨立事件 , P(A∪B) = P(A)+P(B) - P(AB) = 7/10 = 1/2 + P(B) - P(AB) = 1/2 + P(B) - 1/2P(B) = 1/2 + 1/2P(B) = 7/10 , 1/5 = 1/2P(B) , P(B) =2/5
P(A)P(B) = P(AB)
3. 小明今年欲申請A,B,C三所大學，其申請成功的機率分別為0.2，0.4，0.5且互不影響，求今年小明能順利申請到大學的機率。
P(A∪B∪C) : 小明可以申請到任一個大學的機率
P(A∪B∪C) = P(A) + P(B)+P(C) - P(AB) - P(BC)- P(AC) + P(ABC)
因為 A,B,C申請成功的機率分別為0.2，0.4，0.5且互不影響 , 所以 A,B,C 為獨立事件,
P(AB) = P(A)P(B)
7. 右圖是一個分枝管道圖，從上方O處放入一顆彈珠，彈珠會隨機的
向左或向右落下，若彈珠在分枝處向左或向右落下的機率相等，求
彈珠出現在R2的機率
類題補充 A : TT,TH , B: TH,HH , C: TH,HT
P(A) = 2/4 = 1/2 , P(B) = 2/4 = 1/2 , P(C) = 2/4 = 1/2
P(BC) = 1/4 = P(B)P(C) ; B,C are independent events .
(2) P(AC) = 1/4 =P(A)P(C)
P(AB) = 1/4 =P(A)P(B)
P(ABC) = 1/4 , P(A)P(B)P(C) = 1/8 ; A,B,C are not independent events .
2. 設兩事件A與B滿足 P(A) = 1/2 , P(A∪B) = 7/10
(1)設A與B為互斥事件，求P (B)。
(2)設A與B為獨立事件，求P (B)。
(1) A,B為互斥事件 , P(A∪B) = P(A)+P(B) = 1/2 + P(B) = 7/10 , P(B) = 7/10 - 5/10 = 2/10 = 1/5 (2) A,B為獨立事件 , P(A∪B) = P(A)+P(B) - P(AB) = 7/10 = 1/2 + P(B) - P(AB) = 1/2 + P(B) - 1/2P(B) = 1/2 + 1/2P(B) = 7/10 , 1/5 = 1/2P(B) , P(B) =2/5
P(A)P(B) = P(AB)
3. 小明今年欲申請A,B,C三所大學，其申請成功的機率分別為0.2，0.4，0.5且互不影響，求今年小明能順利申請到大學的機率。
P(A∪B∪C) : 小明可以申請到任一個大學的機率
P(A∪B∪C) = P(A) + P(B)+P(C) - P(AB) - P(BC)- P(AC) + P(ABC)
因為 A,B,C申請成功的機率分別為0.2，0.4，0.5且互不影響 , 所以 A,B,C 為獨立事件,
P(AB) = P(A)P(B)
P(AC) = P(A)P(C)
P(BC) = P(B)P(C) , P(ABC) = P(A)P(B)P(C)
4. 設病人對某種治療藥物有反應的機率為0.9 ，且不同的病人對此藥物的反應與否為獨立事件。今有三位病人接受此項治療，求(1)其中有 2位有反應的機率。(2) )至少有一位病人有反應的機率。
(1) 假設有病人 A,B,C ; P(A) = 9/10 , P(B) = 9/10 , P(C) = 9/10 .
其中有2人有反應機率 P(ABC') , P(BCA') , P(ACB') = 3*81/1000 = 243/1000
其中有2人有反應機率 P(ABC') , P(BCA') , P(ACB') = 3*81/1000 = 243/1000
(2) P(AB'C'),P(A'BC'),P(A'B'C)
P(ABC'),P(A'BC),P(AB'C)
P(ABC) = (9/10*1/100)*3 +3*(81/1000)+243/1000 = 1 - P(A'B'C') = 1- 1/1000 = 0.999
5. 某學校的教師中已婚男老師有 18人，已婚女老師30人，未婚男老師 12人，未婚女老師 20人。
(1)該校的教師中，性別和婚姻狀況是否有關？
(2)今加入新進男老師10名後，性別和婚姻狀況為獨立狀態，試問新進10名男老師中，有幾人為未婚狀態？
(1) 假設性別為事件 A , 婚姻為 B .
Male Female Total
Married 18 30 48
Single 12 20 32
Total 30 50 80
6. 設A,B,C 為三獨立事件，若P(A∩B) = 1/4 , P(B∩C) = 1/6 , 且 P(A∪C) = 2/3 , 求 P(A), P(B), P(C).
因為A,B,C 為獨立事件 ; P(ABC)= P(A)P(B)P(C) , P(AB)=P(A)P(B), P(BC)= P(B)P(C), P(AC)=P(A)P(C).
P(A∪C) = P(A) + P(C) - P(AC)
P(A∩B) = P(A)P(C) = 1/4
P(B∩C) = P(B)P(C) = 1/6
P(C) = 1/4P(A) = 1/6P(B)
7. 右圖是一個分枝管道圖，從上方O處放入一顆彈珠，彈珠會隨機的
向左或向右落下，若彈珠在分枝處向左或向右落下的機率相等，求
彈珠出現在R2的機率
Consider Pascal Triangle :
1 P1 , P2
1 2 1 Q1 , Q2 , Q3
1 3 3 1 R1 , R2 , R3 , R4
1 P1 , P2
1 2 1 Q1 , Q2 , Q3
1 3 3 1 R1 , R2 , R3 , R4
(1+x)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1
P(R2) = 3/1+3+3+1 = 3/8
P(R2) = 3/1+3+3+1 = 3/8
1. 下列電路圖中有 3個開關，電流通過各開關的機率均為3/5 , 且各開關的操作獨立。求電流從左端流到右端的機率。
假設 上面的路徑有兩個開關 A, B ; 下面有一個開關 C . 根據題意, 每個開關的機率為3/5.
P(A)=P(B)=P(C)= 3/5
上下路徑只要有一個通LR就導電. 故假設上路徑機率為P(AB) ,下面路徑機率為P(C).
P(ABC) = P(AB)P(C) why ? 因為上下path 是不影響的但是並不互斥. 故為獨立事件.
P(AB) = 9/25 . P(LR) = P(AB∪C) = 9/25 + 3/5 - P(ABC) = 9/25 + 3/5 - 27/125 = 45/125 +75/125 - 27/125 = 120 - 27 /125 = 93/ 125
2. 某藥品測試欲徵求試用者 135人，其性別與國籍雙向表如下：
若欲使性別與國籍獨立，求x，y應各取多少人？
已知要徵135人, 70 +x+ y =135 , x+y = 65.
本國籍人數: 50+y , 外國籍: x+20
男性: 50 + x , 女性 : y+20
性別總人數(男) : 50 + x
性別總人數(女) : 20 + y
本國籍總人數 : 50 + y
外國籍總人數 : 20 + x
3. 甲、乙、丙三人在夜市中玩射擊遊戲，只知甲對此射擊遊戲的命中率為2/5，乙的命中率大於丙，今三人向同靶各射擊一發子彈，三人彼此互不影響，已知此靶被射中的機率為 9/10，且靶面恰中一彈的機率為 5/12，求乙、丙的命中率。
假設乙,丙機率分別為P(乙), P(丙) , 且P(乙) > P(丙) ; 又知道三人向同靶各射擊一發子彈，三人彼此互不影響, 故為獨立事件. (也就是說三人同時開槍皆不彼此影響).
靶面恰中一彈的機率為 5/12 , P(甲乙'丙') +P(甲'乙丙')+P(甲'乙'丙) = 5/12
P(甲乙) = P(甲)P(乙) , P(甲丙) = P(甲)P(丙) , P(丙乙) = P(丙)P(乙) , P(甲乙丙) = P(甲)P(乙)P(丙). 又知靶被射中的機率為 9/10, P(甲∪乙∪丙) = P(甲) + P(乙) + P(丙) - P(甲乙) - P(乙丙) - P(甲丙) + P(甲乙丙) = 9/10
為了簡化,假設 P(乙) = x , P(丙) = y . 因為為獨立事件, 所以
9/10 = 3/5 + x+ y - 3/5x - xy - 3/5y +3/5xy
9/10 - 3/5 = 2/5x +2/5y +2/5xy
3/10 = 2/5 (x+y+xy)
3/10 *5/2 = 3/4 = x+y+xy
P(甲乙'丙') +P(甲'乙丙')+P(甲'乙'丙) = 5/12
3/5(1-x)(1-y) + 2/5x(1-y) + 2/5(1-x)y = 5/12
3(1-x)(1-y) + 2x(1-y) + 2(1-x)y = 25/12
3(1-x-y+xy)+2(x-xy)+2(y-xy) = 25/12
3xy - 2xy -2xy + (2x+2y-x-y) + 3 = 25/12
-xy +x+y = 25/12
2(x+y) = 3/4+ 25/12 = 9/12 + 25/12 = 34/12
x+y = 17/12
xy = 3/4 - 17/12 =
4. 投擲一粒公正的骰子n次，並記錄其出現點數。求
(1) 均未出現 1點的機率。
(2) 最少需要投擲幾次，才會使至少出現一次 1點的機率大於2/3
(1) 出現1點的機率為1/6, 每次為2,3,4,5,6 為1-1/6 = 5/6 ; 擲n次為5/6*5/6*5/6* ...*5/6 = (5/6)^n
(2) 假設至少要投擲n次,
加強練習
1. 投擲一均勻硬幣 2次，若A表示第一次出現正面的事件，B表示第二次出現反面的事件，C表示兩次為同一面的事件，下列各組何者互為獨立事件？加強練習
(1)事件A與B (2)事件B與C (3)事件A與C (4)事件A, B,C。
(1) Tossing a fair coin twice , event A appears head on 1st time and event B appears tail on 2nd time .
Event C appears same side twice .
P(A) = 2/4 = 1/2 , P(B) = 2/4 = 1/2 , P(C) = 2/4= 1/2 .
AB : HT , P(AB) = 1/4 = P(A)P(B) ; yes. A, B are independent events .
(2) BC : TT , P(BC) =1/4 =P(B)P(C) ; yes. B,C are independent events .
(3) AC : ＨＨ , P(AC) = 1/4 = P(A)P(C)
(4) ABC : 無此outcome , P(ABC) = 0 ; no.
2. 設A,B,C為獨立事件，若 P(A) = 1/3 , P(B) = 2/5 , P(C) = 3/4 , ，求
(1) P(A∩B∩C)
(2) P(A∪B∪C)
(1) 因為A,B,C為獨立事件 ; P(ABC) =P(A)P(B)P(C) = 1/3*2/5*3/4 = 1/4*2/5 = 1/10
(2) P(A∪B∪C) = P(A)+P(B)+P(C) - P(AB) - P(BC) - P(AC) + P(ABC) = 1/3 + 2/5 + 3/4 - 2/15 - 3/10 - 1/4 + 1/10 = 9/10.
3. 已知A, B , C為獨立事件且 P(A∪B∪C) = 5/6 , P(A) = 2/3 , P(B) = 1/4 , 求 P(C) .
P(A∪B∪C) = P(A)+P(B)+P(C) - P(AB) - P(BC) - P(AC) + P(ABC) = 5/6 = 2/3 +1/4 + P(C) - 1/6 -1/4P(C) - 2/3P(C) + 2/3*1/4*P(C)
P(C) = 9/10
4. 設甲、乙、丙三人投籃命中率分別為 4/5, 1/2,7/10 , 個人投籃命中與否為獨立事件。
今三人各投一球，求
P(A∪B∪C) = P(A)+P(B)+P(C) - P(AB) - P(BC) - P(AC) + P(ABC) = 5/6 = 2/3 +1/4 + P(C) - 1/6 -1/4P(C) - 2/3P(C) + 2/3*1/4*P(C)
P(C) = 9/10
4. 設甲、乙、丙三人投籃命中率分別為 4/5, 1/2,7/10 , 個人投籃命中與否為獨立事件。
今三人各投一球，求
(1)三人都命中的機率。
(2)恰有兩人命中的機率。
(1) 因為甲、乙、丙投籃命中與否為獨立事件, 即 P(甲乙丙) = P(甲)P(乙)P(丙) ; P(甲乙) =
P(甲)P(乙) , P(乙丙)=P(乙)P(丙) , P(甲丙)=P(甲)P(丙) .
P(甲乙丙) = P(甲)P(乙)P(丙) = 4/5*1/2*7/10 = 28/100 = 7/25
(2) P(甲'乙丙∪甲乙'丙∪甲乙丙')
5. 甲、乙、丙三位選手比賽乒乓球，由過去經驗知：甲贏乙的機率是3/4 ，乙贏丙的機率是 2/3 , 甲贏丙的機率是1/2 。設各場比賽勝負是獨立的，而且每位選手要贏另外2人才得冠軍。問：甲、乙、丙得冠軍的機率分別是多少？
6. 某公司男女員工在主管與非主管的人數統計資料如下：
6. 某公司男女員工在主管與非主管的人數統計資料如下：
試判斷該公司性別與主管職務是否為獨立事件？
7. 右方電路圖中有 5個開關，電流通過各開關的機率均為 1/3 , 且各開關的操作獨立。求電流從左端流到右端的機率。
不通機率 其中一個開關1,2,3,4,5 off
000,001,010,011,100,101,110
8/27 + 3*(4/9*1/3)+3*(1/9*2/3)
00,01,10
4/9+2/9+2/9
1-(8/27 + 3*(4/9*1/3)+3*(1/9*2/3)) - (4/9+2/9+2/9)
8. 設A與B為獨立事件，則下列選項何者正確？
P(AB)= P(A)P(B)
P(A|B) = P(AB)/P(B) = P(A)
P(B|A) = P(BA)/P(A) = P(B)
A與B為獨立事件 , 則A'與B'亦為獨立事件
9. 有一數學問題，甲能解出之機率 3/4 , ，乙能解出之機率為 2/3 , ，今兩人同解此題，每人解題互不影響，求
(1)甲、乙均能解出之機率。
(2)恰有一人解出之機率。
(3)甲、乙均解不出之機率。
(4)此題被解出之機率。
(5)若已知恰有一人解出，則其為甲解出之機率。
兩人同解此題，每人解題互不影響 , 即為獨立事件.
P(甲) = 3/4 , P(乙) = 2/3 , P(甲乙) = P(甲)P(乙)
(1)甲、乙均能解出之機率 , 即 P(甲乙) = P(甲)P(乙) = 3/4*2/3 = 6/12 = 1/2
(2)恰有一人解出之機率 , 即 P(甲乙'∪甲'乙) = P(甲乙') + P(甲'乙) - 0 .
P(甲乙') = P(甲)P(乙') = 3/4*(1-2/3) = 3/4*1/3 = 1/4
P(甲'乙) = P(甲')P(乙) = (1-3/4)*2/3 = 1/4*2/3 = 1/6
所以機率為 1/4+ 1/6 = 6/24 + 4/24 = 10/24 = 5/12
(3)甲、乙均解不出之機率 , 即P( 甲'乙') = P(甲')P(乙') = (1-3/4)*(1-2/3) = 1/4*1/3 = 1/12
(4)此題被解出之機率 , 即 1 - 甲、乙均解不出之機率 = 1 -1/12 = 11/12
(5)若已知恰有一人解出 , 因為只有甲、乙兩人, 不知道是誰解出來的,所以先要扣除
P(甲乙) 兩者都解得出來 , 及兩者皆解不出來P(甲'乙')
1 - P(甲乙) - P(甲'乙') = 1 - 1/2 - (1-3/4)(1-2/3) = 1/2 - (1/4)(1/3) = 1/2 - 1/12 = 6-1/12 = 5/12
所以5/12 為恰一人解出來的機率 ; 即 P(甲乙'∪甲'乙) = P(甲乙') + P(甲'乙) = P(甲)P(乙') +
P(甲')P(乙) = 5/12 = P(甲)(1-2/3) + (1-P(甲))2/3 .
5/12 = 1/3 P(甲) + 2/3 ((1-P(甲))
5/12 = x/3 +2/3(1-x)
5/4 = x + 2(1-x)
5 = 4x + 8-8x
-3 = - 4x
3/4 = x
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