2−4 多項式函數的圖形與多項式不等式

2−4 多項式函數的圖形與多項式不等式
2−4 多項式函數的圖形與多項式不等式

◎ 能辨識已分解之多項式函數的圖形。
◎ 能了解多項式不等式及其相關名詞的意義。
◎ 能了解一次不等式的解法及其應用。
◎ 能了解二次不等式的解法及其應用。
◎ 能了解高次不等式的解法及其應用。
◎ 熟練並利用因式分解與函數圖形相配合，解多項式不等式

一、多項式函數及其圖形：

 (1) 任意多項式 f(x)都可看成函數。(因為當x值確定時， f(x) 值也隨著唯一確定。) 
 (2) 當多項式 f(x) 的次數為n時， f(x) 稱為n次多項式函數，簡稱n次函數。 
 (3) 常數多項式 f(x) = a0 所決定的函數稱為常數函數。 

 (4) 常數函數及一次函數的圖形都是直線；二次函數的圖形都是拋物線。
 (5) 透過描點法，可觀察出高次(三次或三次以上)函數的圖形都是連續性的曲線。 
 (6) 若要更精確的了解圖形的變化，就必須借助更多的數學知識(例如：微積分)。

練習 1：利用描點的方法畫出三次函數 f(x) = x^3 -x  的圖形

描述圖形的要點:
1. 找對稱性 : f(-x) = -x^3 + x = - f(x) , f(x) 是奇函數, 故圖形對稱原點.
2. 找實根 : 即求與x軸的交點, f(x) = 0 , x^3 - x = 0 , x(x^2-1) = 0 , x(x+1)(x-1) = 0 ; 故有 x = 0 , x = 1, x = -1 三個交點.
3. 逐步繪點描述 : 

◎多項式函數圖形的性質：

 (1) 多項式函數的圖形都是連續不斷的。
證明: 假設存在一個n次多項式函式 f(x) , f(x) = anx^n+an-1x^n-1 + ... + a2x^2+a1x+a0 ; 其中 an,an-1,an-2,an-3,...,a3,a2,a1,a0 是常數, 假設有一個常數c , f(c) =   anc^n+an-1c^n-1 + ... + a2c^2+a1c+a0 , lim f(x) 當 x 趨近於 c 時 , lim f(x) = (c) 故f(x) 是一個連續不斷的函式 .

 (2) n次函數的圖形與x軸至多有n個交點。
 (3) 對於次數不低於1次的多項式函數，當首項係數為正數時，函數圖形的最右方是上升
       的；當首項係數為負數時，函數圖形的最右方是下降的。



◎函數圖形與方程式的實根：

多項式函數 f(x) 之圖形與x軸交點的x坐標就是 f (x) = 0 的實根


【觀念釐清】(1)遇到恆正的二次因式，因為它不會影響不等式的解，可先消去不理。 (2)可先消去偶次因式，保留一次因式，但須檢查被消去的斷點是否為解