2−1 邏輯、集合與計數原理

2−1 邏輯、集合與計數原理

2−1 邏輯、集合與計數原理

◎　了解「且」、「或」及「否定」的意義。
◎　了解集合的意義，認識列舉法及描述法等兩種集合表示法。
◎　了解子集、交集及聯集、補集和差集等集合基本概念。
◎　了解窮舉法與樹狀圖的意義，並會利用樹狀圖來呈現符合條件的所有情形。
◎　了解一一對應原理及其應用。
◎　了解加法原理、乘法原理及其應用。
◎　了解取捨原理及其應用。

一、邏輯簡介： 

◎ 敘述：在數學的語言裡，能判斷其為對或錯的語句，稱為敘述。請注意 , 如果這個敘述只有 True / False 兩種結論的話, 這個語句就是 statement .

例如：「三角形三內角和為180°」為對的敘述；「1+2 = 4」為錯的敘述。

◎且：當敘述 p與q兩者皆對時，「 p且q」才是對的敘述，否則就是錯的敘述。
常以符號「 p∧q」表示「 p且q」。

◎或：當敘述 p與q至少有一為對時，「 p或q」才是對的敘述，否則就是錯的敘述。

常以符號「 p∨q」表示「 p或q」。

練習 1：設甲乙丙為三個敘述，且 甲：長方形都是正方形；乙：正三角形都是等腰三角形；丙：3 > 5 。 在下列選項中選出對的敘述：(1)甲 (2)乙 (3)甲且乙 (4)乙或丙 (5)甲或丙。

(1) 參考矩形定義 - wiki 矩形　正方形為矩形的一個特例 , 所以甲是False 敘述.  

(2) 乙 : True , 正三角形三邊等長,即認兩邊皆等長.  

(3) 丙 : False

【觀念釐清】
 (1)「ab ≠ 0」意思是指「a ≠ 0且b ≠ 0」。
 (2)「ab = 0」意思是指「a = 0或b = 0」。

 (3)「1 < x < 2 」意思是指「1< x且x < 2」。 

 (4)「x ≥3」意思是指「x=3或x>3」，因此「3 ≥ 3」是對的敘述

◎否定敘述：一個敘述 p的「否定」會形成另一新的敘述，稱為 p的否定敘述，以符號~ p(讀作非 p ) 表示。例如：若敘述 p為「2是整數」，則其否定敘述~ p為「2不是整數」。 

【觀念釐清】

 當 p為對時，~ p就為錯；當 p為錯時，~ p就為對

◎笛摩根定律：
(1)「 p且q」的否定為「非 p或非q」，記作 ~ (p∧q) ≡ (~ p)∨(~ q)。

(2)「 p或q」的否定為「非 p且非q」，記作 ~ (p∨q) ≡ (~ p)∧(~ q)。 

【說明】
 (1) 只要兩敘述 p與q有一被否定，就足以否定「 p且q」。 

 (2) 要否定「 p或q」，必須將兩敘述 p與q都否定，才能否定整個敘述。


練習 3：寫出下列各敘述的否定敘述：(1) x = 2或 x =3；(2)1 < x < 2。(Hint：三一律) 

(1) (x = 2)∨(x = 3) 的否定為　(x ≠2)∧(x ≠ 3)　
(2)  1 < x 且 x < 2 的否定為 x ≤ 1 或x ≥ 2 

二、集合簡介： 

◎集合：由一些滿足某些條件之元素所組成的整體。
◎屬於：若a是集合 S 中的一個元素，則用符號 a ∈ S  (讀作a屬於S )表示； 
若 a不是集合S 中的元素，則用符號a∉ S (讀作a不屬於S )表示。
◎空集合：不包含任何元素的集合稱為空集合，記作∅。

◎列舉法：將集合的所有元素一一在大括弧中列舉出來的表示方法。 

◎描述法：當集合中的元素很多時，一一列舉並不方便，這時可改用集合中所有元素共同具有的屬性來表示。先在{ }內寫出元素的一般形式，再加一直槓「 | 」，並在直槓的右邊寫出能夠界定所有元素的屬性。例如：集合C可表示為C = { 2k |  1 ≤ k ≤ 4 , k 為正整數 }

練習 4：(1)利用列舉法表示所有 18的正因數組成的集合。
18 的正因數為1,2,3,6,9,18 , 即 { 1,2,3,6,9,18} 
(2)利用描述法表示所有小於 100且被 3整除的正整數組成的集合。
{ 3k | 1 ≤ k ≤ 33 ,  k 為正整數 } 

練習 5：(1)利用列舉法表示集合 A = { x | x^2 = 9 } 。
A=  { -3, 3 } 
(2)利用描述法表示所有小於 200且被 4整除的正整數組成的集合。
{4n | 1 ≤ n ≤ 49 , n 為正整數 }



【觀念釐清】集合的元素不考慮出現的順序，也不考慮元素重複出現的次數。

◎數系符號說明：
 全體正整數組成的集合記做 N ；全體整數組成的集合記做 Z ； 
 全體有理數組成的集合記做 Q；全體實數組成的集合記做 R ； 
 全體複數組成的集合記做 C。

◎子集：當集合A中的每一個元素都是集合B的元素時，稱A是B的一個子集，並用符號 

 A ⊂B ( A包含於B)或用B ⊃ A(B包含A)來表示，例如：{1, 2,3 }⊂ {1, 2,3, 4,5 }。

◎規定：空集合∅為任一集合A的子集，即∅ ⊂ A。

◎文氏圖：表示集合關係的直觀圖

練習6：列出集合S ={1,2,3} 的所有子集。(Hint：依子集所含元素的個數分類) 

分析子集合元素個數為
0 : ∅ 
1 : {1},{2},{3} 
2 : {1,2},{2,3},{1,3} 
3 : S 

所以有１+3+3+1 = 8個

練習7：列出集合S ={ a , b }的所有子集 
略

◎集合相等：當兩個集合A與B滿足條件A⊂B  且B ⊂ A時 (構成A與B的元素完全相同)，稱此兩個 集合相等，記作A=B 。

練習10：設A為所有10的正因數組成的集合，B為所有15的正因數組成的集合。 

 求 A∩B，A∪B，A−B，及B− A

A∩B : 同為10及15的正因數之集合; A = { 1,2,5,10} , B = {1,3,5,15} , A∩B = { 1,5}