◎了解轉移矩陣的意義及其實用性。
◎能寫出應用問題的轉移矩陣。
◎能利用轉移矩陣系統性處理機率問題。
◎了解反方陣的意義。
◎了解反方陣存在的條件。
◎能求出給定二階方陣的反方陣。
◎熟悉二階反方陣的公式。
◎能利用二階反方陣解二元一次聯立方程式。
甲: a - a/2 + 1/2(b+a/2) = a/2 +b/2 +a/4 = 3/4a +b/2
乙: b/2+ a/4
練習 2：設某城市及其近郊人口遷移狀況為：每年住在城裡的人有90%留在城裡裡，有10% 流向郊區；而郊區的人有 80%留在郊區，有 20%搬到城裡。
(1) 寫出此人口遷移的轉移矩陣 A。
(2) 已知城裡與郊區目前的人口分別占70% 與30%，求 1 年及 2 年後城裡人口所占的比例。
(1) 假設城市人口原有 x , 郊區人口原有 y .
每一年過完後人口數如下 :
城市 : 0.9x +0.2y
郊區 : 0.8y + 0.1x
A = [0.9 0.2 0.8 0.1] , X = [x y] , X' = AX
(2)
假設目前總人數為 x , 故城裡為0.7x , 郊區為 0.3x
A = [0.9 0.2 0.8 0.1] , X = [0.7x 0.3x] , X' = AX = 1/10 [9 2 9 1]*1/10[7 3]x = 1/100[9 2 9 1]*[7 3]x = 1/100[69 66]x = [0.69 0.66]x
X" = AX' = 1/10[9 2 9 1]*[0.69 0.66]x = 1/1000[9 2 9 1]*[69 66]x = 1/1000[
練習 3 : 學校餐廳的午餐有麵食與飯食兩種主食供同學選用。根據統計：選用麵食的人第二天有一半的人仍選用麵食，其餘一半選用飯食；而選用飯食的人第二天有30%仍選用飯食食，其餘70% 選用麵食。
(1) 寫出此主食選用的轉移矩陣 A。
(2) 已知今天有 60% 的人選用麵食，求明天及後天選用麵食的人所占的比例。
(1) 假設麵食有x人,飯食y人; 第二天有一半的人仍選用麵食，其餘一半選用飯食
0.5x+0.5y=a
0.7x+0.3y=b
1/10 [5 5
7 3] = [a b]
A = [0.5 0.5 0.7 0.3]
(2)
練習 4： 捷運局調查通勤上班族每月使用交通工具的狀況如下：
原來搭捷運者有 80%會繼續搭捷運，有10% 改為開車，有10% 改為騎機車；原來開車者有 30%會改搭捷運，有50%繼續開車，有20% 改為騎機車；原來騎機車者有 20% 會改搭捷運，有 20% 改為開車，有60% 繼續騎機車。
(1) 寫出此調查的轉移矩陣 A。
(2) 已知目前有50%搭捷運，有10% 開車，有40% 騎機車，求兩個月後搭捷運者占通勤上班族
的比例。
練習 5：某人遊走於甲、乙、丙三城鎮，此三城鎮彼此間皆有道路相通。當此人夜宿於某城鎮時，翌日早晨醒來，選擇留在該城鎮的機率為1/2 ，前往其他城鎮的機率均為1/4。假設此人某日夜宿於甲鎮，試求此人三日後，遊走至甲鎮的機率。
AB=BA= I 成立, B就是A的inverse
or using the definition of A's inverse is also available .
◎ 二階反方陣的求法：
【說明】
練習 9：
det(A) = 3 -4 = -1 , 所以 A之逆存在, AA' = I . 由於是2階方陣所以可由公式求之.
AX= B , A'(AX) = A'B , (A'A)X = A'B , X = A'B .
練習 11：
將聯立多項式表示成 AX = B , A為係數矩陣, X為未知數矩陣, B 為常數矩陣.
已知題目有反方陣A' , AX= B , A'AX= A'B , X = A'B 可求出 x, y 值
習題
1. 下列哪些是轉移矩陣？
就將 A乘一次, A*A 比較項數
3. 某籃球選手經常作罰球線投籃練習。依據經驗，當他前一球投進時，下一球的命中率為80%；當他前一球投不進時，下一球的命中率為60% 。
(1) 寫出此選手投籃的轉移矩陣 A。
假設 M = [ a b c d ] , 乘起來比較項目.
(1) 因為 A 為可逆, 故 AA'= I , 可以求出 A' , 然後再乘起來求出 B .
B = APA' , BA = AP , A'BA = P
(2) B" = (APA')(APA')= AP(A'A)PA' = APIPA'= AP"A' , 求算一下B" 在推演可以看出來
(3) P = A'BA , P" = (A'BA)(A'BA) = A'B(AA')BA = A'BIBA= A'B"A , 求算一下B" 在推演可以看出來
5. 已知甲袋中有 1 白球 1 紅球，乙袋中有 1 白球。今自甲袋中隨機取出 1 球放入乙袋，再自乙袋中隨機取出 1 球放回甲袋，如此稱為一局，求三局後紅球在甲袋中的機率。
6. 以 0，1 為元的所有二階方陣中，求任取一個方陣，其具有反方陣的機率。
兩階方陣,將其排成一列,則共有四個位置 [a b c d] , 每個位置有兩種可能選擇; 故有 2*2*2*2 = 16 種. 由反方陣性質 A 有反方陣 iff det(A) ≠ 0
0000-- 零列
0001-- 零列
0010-- 零列
0011-- 零列
0100-- 零列
0101-- 同列
0110
0111
1000-- 零列
1001
1010-- 同列
1011
1100-- 零列
1101
1110
1111-- 同列
以上方陣是無反方陣, 16 - 10 = 6 , 只有 6/16 = 3/ 8 的機率有反方陣.
AX + 2B = C , AX = C - 2B , AX = D , D = C-2B
det(A) ≠ 0 , A的反方陣存在, AX= D , X = A'D .
(1) False . A = [1 1 0 0] , A非零矩陣. 但 det(A) = 0 , A 不存在 A'
(2) AB= I , 可以將 A, B 互相視為反矩陣; 故反矩陣必唯一 ; 即 AB = I , BA = I
(3) AB = O , 假設 A = [a b c d] , B =[w x y z] , AB = [aw+by ax+bz cw+dy cx+dz] ;
aw+by = 0
ax+bz = 0
cw+dy = 0
cx+dz = 0
設 a = 0 , y = 0 , z =0 , c= 0 ; 其他皆不為0.
A = [0 b 0 d] , B = [w x 0 0]
BA = [0 wb+xd wb+xd 0] ≠ O , False
(4) True . det(A) ≠ 0 , AB=AC , A'AB= A'AC , IB=IC , B =C
(5)若 B = C，則 AB =AC is true
det(A) ≠ 0 , A' 存在.
(1) AX = B , A'AX= A'B , IX = A'B, X = A'B
(2) XA = B , XAA'= BA' , XI = BA'= X = BA'
10. 小惠有一台自行車，平時用一副四位數密碼的號碼鎖鎖住。有一天，志明向她借用這台自行車，她答應借用，但只告訴志明號碼鎖的密碼abcd 符合以下二階方陣的等式：
(1) a+c = 1 , b+d = 1
(2)
AA = [a b c d]*[a b c d] = [ aa+bc ab+bd ac+cd bc+dd ]
aa+bc+ac+cd = (aa+ac) + (bc+cd) = a(a+c) + c(b+d) = a+c = 1
ab+bd+bc+dd = bd+dd+ab+bc = (b+d)d + b(a+c) = d + b = 1 故得証.
det(A) = 2 , 4b - 9a = 2 , det(AB) = 45 + 20 = 65 = det(A)det(B) , det(B) = 65/2
6d - 7c = 65/2 其他計算
加強練習
1. 設甲袋有 1 白球 1 紅球，乙袋有 1 紅球，先自甲袋取一球放入乙袋，再自乙袋取一球放入甲袋，如此稱為一局，求(1)二局後白球在甲袋的機率。(2)長期而言，白球在甲袋的機率。
第 0 局 : 甲袋 : 1w , 1r , 乙袋 : 1r
第 1 局 : 甲袋 : 1r ---> 乙袋 : 1r + 1w ---> 甲袋 : 1r + 1w , 乙袋 : 1r
第 2 局 : 甲袋 : 1r ---> 乙袋 : 1r + 1w ---> 甲袋 : 1r + 1r , 乙袋 : 1w
第 2 局 : 甲袋 : 1w ---> 乙袋 : 1r + 1r ---> 甲袋 : 1w + 1r , 乙袋 : 1r
3. 小明從家裡到學校有甲、乙兩條路線可以走，他每天依下述方法決定上學的路線：若某一天走乙路線上學，則次日一定走甲路線；若某一天走甲路線上學，則次日丟一枚公正硬幣，出現正面就走甲路線，反面就走乙路線上學。
(1)寫出小明選擇上學路線的轉移矩陣。
(2)若星期一小明以丟硬幣決定上學路線，則他在星期三走甲路線上學的機率為何？
(3)長期而言，小明走甲路線上學的機率為何？
(1) False
(2) (A-I)(AA+A+I) = AAA + AA+ A - AA- A - I = AAA- I , True
(3) if AB = AC , A' exist . then apply A' to both sides , we can get A'(AB)= A'(AC) , (A'A)B = (A'A)C , IB= IC , B= C
(4) A' exist , (ABA')^20 = (ABA')(ABA')(ABA') ...(ABA')(ABA') = AB(A'A)B(A'A)B ....B(A'A)BA' = ABB...BA' = AB^20A' , True
(5) 先求 AA , AA = [ 1 0 0 1] = I , AAA = AI = A , A^4 = A^3A= AA = I , A^5 = A^4A = IA= A , ...
所以 A^n = I , n 是偶數 ; 否則是 A , 故A^100 = I
A^5 = A^3*A*A , 假設 AA = [a b c d] , 乘起來比較項目, 求出 a,b,c,d ; A^3 = A^2*A , 假設 A = [w x y z] ; 同樣 , 也是比較項目, , 求出 w , x , y , z .
A', B' 皆存在 , 因為 AC= CB
A'(AC) = (A'A)C = IC = C = A'(CB)
同理, CB=AC , (CB)B' = ACB' , C = ACB'
故 (1)(2)
因為 det(A) ≠ 0 , A' 存在 ;
A'(AAA- AA) = A'A , (A'A)AA - (A'A)A = I , AA - A = I applying A' again to both sides , we can get A'(AA-A) = A'I , (A'A)A - A'A = A' , IA- I = A' , A - I = A' ; 換句話說, 找一個 expression 可以使得A'A= I
8. 可乘開, 及求 det(A) = det(B)det(C) ; 然後再比較a,b,c,d
AX size為2*3 , 故假設 X = [a b c d e f] , 乘開比較項目, 求 a,b,c,d,e,f
10. 某地區有甲、乙兩超市，據調查每月甲超市留有 80%的顧客，20%轉向乙超市；乙超市留有 40%的顧客，60%轉向甲超市。若目前甲、乙兩超市的占有率分別為 30%及 70%，且顧客的總人數不變。
(1) 寫出市場占有率的轉移矩陣。
(2) 下一個月時甲超市的占有率為何？
(3) 若超市會趨於穩定，則在穩定狀態下甲超市的占有率為何？
AX = B , X 為密碼矩陣 ; 因為 det(A) > 0 , 故 A' 存在 ; A'AX = A'B , X = A'B 可求出.
det(A) > 0 , A' 存在 ; A'A = I .
APA' = B , A'(APA') = A'B , A'A(PA') = A'B , PA' = A'B , (PA')A = A'BA , P = A'BA
PP = (A'BA)(A'BA) = A'B(AA')BA = A'BIBA= A'BBA ...
可推論, P^n = A'B^nA .
乙: b/2+ a/4
練習 1：根據上列資料，若初始甲乙兩瓶水量分別為 3/5公升與 2/5公升, 則一輪後、二輪後及三輪後的水量分布矩陣 X1, X2 ,X3 分別為何？
X = [3/5 2/5]
AX = X1
AX1= X2
AX2 = X3
練習 2：設某城市及其近郊人口遷移狀況為：每年住在城裡的人有90%留在城裡裡，有10% 流向郊區；而郊區的人有 80%留在郊區，有 20%搬到城裡。
(1) 寫出此人口遷移的轉移矩陣 A。
(2) 已知城裡與郊區目前的人口分別占70% 與30%，求 1 年及 2 年後城裡人口所占的比例。
(1) 假設城市人口原有 x , 郊區人口原有 y .
每一年過完後人口數如下 :
城市 : 0.9x +0.2y
郊區 : 0.8y + 0.1x
A = [0.9 0.2 0.8 0.1] , X = [x y] , X' = AX
(2)
假設目前總人數為 x , 故城裡為0.7x , 郊區為 0.3x
A = [0.9 0.2 0.8 0.1] , X = [0.7x 0.3x] , X' = AX = 1/10 [9 2 9 1]*1/10[7 3]x = 1/100[9 2 9 1]*[7 3]x = 1/100[69 66]x = [0.69 0.66]x
X" = AX' = 1/10[9 2 9 1]*[0.69 0.66]x = 1/1000[9 2 9 1]*[69 66]x = 1/1000[
練習 3 : 學校餐廳的午餐有麵食與飯食兩種主食供同學選用。根據統計：選用麵食的人第二天有一半的人仍選用麵食，其餘一半選用飯食；而選用飯食的人第二天有30%仍選用飯食食，其餘70% 選用麵食。
(1) 寫出此主食選用的轉移矩陣 A。
(2) 已知今天有 60% 的人選用麵食，求明天及後天選用麵食的人所占的比例。
(1) 假設麵食有x人,飯食y人; 第二天有一半的人仍選用麵食，其餘一半選用飯食
0.5x+0.5y=a
0.7x+0.3y=b
1/10 [5 5
7 3] = [a b]
A = [0.5 0.5 0.7 0.3]
(2)
練習 4： 捷運局調查通勤上班族每月使用交通工具的狀況如下：
原來搭捷運者有 80%會繼續搭捷運，有10% 改為開車，有10% 改為騎機車；原來開車者有 30%會改搭捷運，有50%繼續開車，有20% 改為騎機車；原來騎機車者有 20% 會改搭捷運，有 20% 改為開車，有60% 繼續騎機車。
(1) 寫出此調查的轉移矩陣 A。
(2) 已知目前有50%搭捷運，有10% 開車，有40% 騎機車，求兩個月後搭捷運者占通勤上班族
的比例。
練習 5：某人遊走於甲、乙、丙三城鎮，此三城鎮彼此間皆有道路相通。當此人夜宿於某城鎮時，翌日早晨醒來，選擇留在該城鎮的機率為1/2 ，前往其他城鎮的機率均為1/4。假設此人某日夜宿於甲鎮，試求此人三日後，遊走至甲鎮的機率。
二、二階反方陣：
◎反方陣的定義：設 A為n 階方陣，若有一 n 階方陣 B ，滿足 AB = BA = In , ，則稱 B 為 A的乘法反方陣(簡稱反方陣)，並以 A' 表示。
【觀念釐清】
(1) 非零方陣不一定都有反方陣。det(A) = 0 iff A' 不存在.
(2)若方陣 A有反方陣，則其反方陣只有一個。
證: 假設方陣 A有兩個反方陣, A', A" , 且 A' ≠ A" .
A'A = I , AA" = I
A' = A'I = A'AA"= IA" = A" 矛盾
◎反方陣的定義：設 A為n 階方陣，若有一 n 階方陣 B ，滿足 AB = BA = In , ，則稱 B 為 A的乘法反方陣(簡稱反方陣)，並以 A' 表示。
【觀念釐清】
(1) 非零方陣不一定都有反方陣。det(A) = 0 iff A' 不存在.
(2)若方陣 A有反方陣，則其反方陣只有一個。
證: 假設方陣 A有兩個反方陣, A', A" , 且 A' ≠ A" .
A'A = I , AA" = I
A' = A'I = A'AA"= IA" = A" 矛盾
練習 6：
AB=BA= I 成立, B就是A的inverse
or using the definition of A's inverse is also available .
◎ 二階反方陣的求法：
【說明】
練習 7：已知二階方陣 A 有反方陣，求 A的反方陣。
假設其反方陣為 B , B = [a b c d] , such that AB = I2 , 成出來比較係數.
◎二階反方陣的公式 二階反方陣的公式：
◎行列式值與反方陣：(反方陣存在的條件)
若方陣 A的行列式值det(A) ≠ 0 ，則 A有反方陣 , det(A) ≠ 0 ⇔ A反方陣存在
◎利用反方陣解二元一次聯立方程式：
det(A) = 3 -4 = -1 , 所以 A之逆存在, AA' = I . 由於是2階方陣所以可由公式求之.
AX= B , A'(AX) = A'B , (A'A)X = A'B , X = A'B .
練習 11：
將聯立多項式表示成 AX = B , A為係數矩陣, X為未知數矩陣, B 為常數矩陣.
已知題目有反方陣A' , AX= B , A'AX= A'B , X = A'B 可求出 x, y 值
習題
1. 下列哪些是轉移矩陣？
(1) 0.3 + 0.7 , 0.8+0.2 = 1 (2) 1/4(3+1) , 1/4(1+3) = 1
2. 已知轉移矩陣
，求實數a,b,c 的值。
就將 A乘一次, A*A 比較項數
3. 某籃球選手經常作罰球線投籃練習。依據經驗，當他前一球投進時，下一球的命中率為80%；當他前一球投不進時，下一球的命中率為60% 。
(1) 寫出此選手投籃的轉移矩陣 A。
(2) 在暖身球投進之後，分別求接下來投進第 1 球，第 2 球及第 3 球的機率。
(3) 長期而言此選手的投籃命中率為何？
(1) 每次投球時有命中及不命中的情況 ,
命中 : 0.8x + 0.6y
不命中 : 0.2x + 0.4y , 故轉移矩陣為 [ 4/5 3/5
1/5 2/5 ]
(2) A : 為第一球, AA: 為第二球, AAA: 為第三球,
(3) AAA ... A : 連乘n 次即為第n球後的機率
5. 設二階方陣 A =
沒有反方陣，求實數 x 的值。
無方陣, det(A) = 0 ; 即 (x+2)(x+1) - 6 = 0 , 求 x 之解.
9. 已知二階方陣
，求滿足 AX = X + A 的矩陣 X
AX = X+ A , (A-I)X = A , B = A - I , BX = A . 若 B 是可逆, 則 X = (B^-1)A
11. 設聯立方程式
(1) 每次投球時有命中及不命中的情況 ,
命中 : 0.8x + 0.6y
不命中 : 0.2x + 0.4y , 故轉移矩陣為 [ 4/5 3/5
1/5 2/5 ]
(2) A : 為第一球, AA: 為第二球, AAA: 為第三球,
(3) AAA ... A : 連乘n 次即為第n球後的機率
5. 設二階方陣 A =
沒有反方陣，求實數 x 的值。無方陣, det(A) = 0 ; 即 (x+2)(x+1) - 6 = 0 , 求 x 之解.
9. 已知二階方陣
，求滿足 AX = X + A 的矩陣 X AX = X+ A , (A-I)X = A , B = A - I , BX = A . 若 B 是可逆, 則 X = (B^-1)A
11. 設聯立方程式
無解，求a 的值。
det(A) = 0 , why ? 也就是說其中一列必可被列基本運算所組合,
a(a-2) - 3= a^2 - 2a -3 = 0 , (a-3)(a+1) = 0 , a = 3, a = -1
12. 有甲、乙及丙三支瓶子，開始時均裝 1 公升的水。每一輪操作都先將甲瓶的水倒出一半到乙瓶，再將乙瓶的水倒出一半到丙瓶，然後再將丙瓶的水倒出一半回甲瓶。
(1) 寫出此倒水問題的轉移矩陣。
(2) 求第三輪操作後，三瓶子的水各有多少公升？
13. 某國政府長期追蹤全國國民的經濟狀況，依訂定的標準將國民分為高收入和低收入兩類。統計發現：高收入的人口中，每年有 2 成會轉變為低收入；低收入的人口中，每年有 1 成會轉變為高收入。已知目前全國國民有 3 成為高收入，7 成為低收入。
(1)兩年後低收入人口占全國國民多少比例？
(2)長期而言，高收入人口與低收入人口各占多少比例？
類題補充
1. 設二階方陣 A與 B 均為轉移矩陣，選出正確的選項：
(1) 2A為轉移矩陣 (2) AB 為轉移矩陣 (3) AA 為轉移矩陣 (4) 1/2(A+B) 為轉移矩陣
如何證明
2. 設二階方陣 A =
, 滿足 A = A' ，求實數a b, 的值。
因為矩陣 A 滿足 A = A' , AA= AA' = I , AA 求出後比較項目 with I ,求出 a,b .
13. 某國政府長期追蹤全國國民的經濟狀況，依訂定的標準將國民分為高收入和低收入兩類。統計發現：高收入的人口中，每年有 2 成會轉變為低收入；低收入的人口中，每年有 1 成會轉變為高收入。已知目前全國國民有 3 成為高收入，7 成為低收入。
(1)兩年後低收入人口占全國國民多少比例？
(2)長期而言，高收入人口與低收入人口各占多少比例？
類題補充
1. 設二階方陣 A與 B 均為轉移矩陣，選出正確的選項：
(1) 2A為轉移矩陣 (2) AB 為轉移矩陣 (3) AA 為轉移矩陣 (4) 1/2(A+B) 為轉移矩陣
如何證明
2. 設二階方陣 A =
, 滿足 A = A' ，求實數a b, 的值。因為矩陣 A 滿足 A = A' , AA= AA' = I , AA 求出後比較項目 with I ,求出 a,b .
假設 M = [ a b c d ] , 乘起來比較項目.
(1) 因為 A 為可逆, 故 AA'= I , 可以求出 A' , 然後再乘起來求出 B .
B = APA' , BA = AP , A'BA = P
(2) B" = (APA')(APA')= AP(A'A)PA' = APIPA'= AP"A' , 求算一下B" 在推演可以看出來
(3) P = A'BA , P" = (A'BA)(A'BA) = A'B(AA')BA = A'BIBA= A'B"A , 求算一下B" 在推演可以看出來
5. 已知甲袋中有 1 白球 1 紅球，乙袋中有 1 白球。今自甲袋中隨機取出 1 球放入乙袋，再自乙袋中隨機取出 1 球放回甲袋，如此稱為一局，求三局後紅球在甲袋中的機率。
6. 以 0，1 為元的所有二階方陣中，求任取一個方陣，其具有反方陣的機率。
兩階方陣,將其排成一列,則共有四個位置 [a b c d] , 每個位置有兩種可能選擇; 故有 2*2*2*2 = 16 種. 由反方陣性質 A 有反方陣 iff det(A) ≠ 0
0000-- 零列
0001-- 零列
0010-- 零列
0011-- 零列
0100-- 零列
0101-- 同列
0110
0111
1000-- 零列
1001
1010-- 同列
1011
1100-- 零列
1101
1110
1111-- 同列
以上方陣是無反方陣, 16 - 10 = 6 , 只有 6/16 = 3/ 8 的機率有反方陣.
AX + 2B = C , AX = C - 2B , AX = D , D = C-2B
det(A) ≠ 0 , A的反方陣存在, AX= D , X = A'D .
(1) False . A = [1 1 0 0] , A非零矩陣. 但 det(A) = 0 , A 不存在 A'
(2) AB= I , 可以將 A, B 互相視為反矩陣; 故反矩陣必唯一 ; 即 AB = I , BA = I
(3) AB = O , 假設 A = [a b c d] , B =[w x y z] , AB = [aw+by ax+bz cw+dy cx+dz] ;
aw+by = 0
ax+bz = 0
cw+dy = 0
cx+dz = 0
設 a = 0 , y = 0 , z =0 , c= 0 ; 其他皆不為0.
A = [0 b 0 d] , B = [w x 0 0]
BA = [0 wb+xd wb+xd 0] ≠ O , False
(4) True . det(A) ≠ 0 , AB=AC , A'AB= A'AC , IB=IC , B =C
(5)若 B = C，則 AB =AC is true
det(A) ≠ 0 , A' 存在.
(1) AX = B , A'AX= A'B , IX = A'B, X = A'B
(2) XA = B , XAA'= BA' , XI = BA'= X = BA'
10. 小惠有一台自行車，平時用一副四位數密碼的號碼鎖鎖住。有一天，志明向她借用這台自行車，她答應借用，但只告訴志明號碼鎖的密碼abcd 符合以下二階方陣的等式：
，志明卻一直無法解出正確的密碼，而不能使用這台自行車。 請你(妳)幫忙志明求出這副號碼鎖的正確密碼。
假設上面的式子為 AX = B , 發現 det(A) ≠ 0 則 A'存在 ; 所以 A'AX= A'B , X= A'B 可求出 a,b,c,d.
since det(A) = 1 , so A' exists and we can get A' via formula , A' = [ -a -b -c a]
A - A' = [a b c -a] - ([ -a -b -c a]) = [2a 2b 2c -2a] = 2[ a b c -a] = 2A , det(A-A')= 4det(A) = 4
12. 某工廠有甲、乙二條生產線，共有 140 位工人。工作一週後，依轉調規定：甲生產線保留60% 的 工人，另40% 的工人轉調到乙生產線；乙生產線保留70% 的工人，另30%的工人轉調到甲生產線。 雖然每週都這樣作輪調，但是每條生產線上的工人總數總是不變，求甲生產線的工人數。
假設甲為x人,乙為y人 ; x+y = 140.
0.6x + 0.4x+y
0.7y+
13. 有 A、B 兩支大瓶子，開始時 A瓶裝有a 公升的純酒精，B 瓶裝有b 公升的礦泉水。每一輪操作都是先將 A瓶的溶液倒出一半到 B 瓶，然後再將 B 瓶的溶液倒出一半回 A瓶(不考慮酒精與水混合後體積的縮小)。設n 輪操作後， A瓶有 an 公升的溶液， B 瓶有 bn 公升的溶液。
12. 某工廠有甲、乙二條生產線，共有 140 位工人。工作一週後，依轉調規定：甲生產線保留60% 的 工人，另40% 的工人轉調到乙生產線；乙生產線保留70% 的工人，另30%的工人轉調到甲生產線。 雖然每週都這樣作輪調，但是每條生產線上的工人總數總是不變，求甲生產線的工人數。
假設甲為x人,乙為y人 ; x+y = 140.
0.6x + 0.4x+y
0.7y+
13. 有 A、B 兩支大瓶子，開始時 A瓶裝有a 公升的純酒精，B 瓶裝有b 公升的礦泉水。每一輪操作都是先將 A瓶的溶液倒出一半到 B 瓶，然後再將 B 瓶的溶液倒出一半回 A瓶(不考慮酒精與水混合後體積的縮小)。設n 輪操作後， A瓶有 an 公升的溶液， B 瓶有 bn 公升的溶液。
(1) a+c = 1 , b+d = 1
(2)
AA = [a b c d]*[a b c d] = [ aa+bc ab+bd ac+cd bc+dd ]
aa+bc+ac+cd = (aa+ac) + (bc+cd) = a(a+c) + c(b+d) = a+c = 1
ab+bd+bc+dd = bd+dd+ab+bc = (b+d)d + b(a+c) = d + b = 1 故得証.
6d - 7c = 65/2 其他計算
加強練習
1. 設甲袋有 1 白球 1 紅球，乙袋有 1 紅球，先自甲袋取一球放入乙袋，再自乙袋取一球放入甲袋，如此稱為一局，求(1)二局後白球在甲袋的機率。(2)長期而言，白球在甲袋的機率。
第 0 局 : 甲袋 : 1w , 1r , 乙袋 : 1r
第 1 局 : 甲袋 : 1r ---> 乙袋 : 1r + 1w ---> 甲袋 : 1r + 1w , 乙袋 : 1r
第 2 局 : 甲袋 : 1r ---> 乙袋 : 1r + 1w ---> 甲袋 : 1r + 1r , 乙袋 : 1w
第 2 局 : 甲袋 : 1w ---> 乙袋 : 1r + 1r ---> 甲袋 : 1w + 1r , 乙袋 : 1r
2. 某一推銷員的推銷區包括甲、乙、丙三鎮，他絕對不連續兩天在同一市鎮推銷。若某一天在甲鎮推銷，則第二天必到乙鎮推銷。若某一天在乙鎮推銷，則第二天在甲鎮推銷的機率為在丙鎮推銷的兩倍。若某一天在丙鎮推銷，則第二天在甲鎮推銷的機率為在乙鎮推銷的兩倍。長期而言，此一推銷員在甲、乙、丙三鎮售貨的機率各為何？
3. 小明從家裡到學校有甲、乙兩條路線可以走，他每天依下述方法決定上學的路線：若某一天走乙路線上學，則次日一定走甲路線；若某一天走甲路線上學，則次日丟一枚公正硬幣，出現正面就走甲路線，反面就走乙路線上學。
(1)寫出小明選擇上學路線的轉移矩陣。
(2)若星期一小明以丟硬幣決定上學路線，則他在星期三走甲路線上學的機率為何？
(3)長期而言，小明走甲路線上學的機率為何？
(1) False
(2) (A-I)(AA+A+I) = AAA + AA+ A - AA- A - I = AAA- I , True
(3) if AB = AC , A' exist . then apply A' to both sides , we can get A'(AB)= A'(AC) , (A'A)B = (A'A)C , IB= IC , B= C
(4) A' exist , (ABA')^20 = (ABA')(ABA')(ABA') ...(ABA')(ABA') = AB(A'A)B(A'A)B ....B(A'A)BA' = ABB...BA' = AB^20A' , True
(5) 先求 AA , AA = [ 1 0 0 1] = I , AAA = AI = A , A^4 = A^3A= AA = I , A^5 = A^4A = IA= A , ...
所以 A^n = I , n 是偶數 ; 否則是 A , 故A^100 = I
A^5 = A^3*A*A , 假設 AA = [a b c d] , 乘起來比較項目, 求出 a,b,c,d ; A^3 = A^2*A , 假設 A = [w x y z] ; 同樣 , 也是比較項目, , 求出 w , x , y , z .
A', B' 皆存在 , 因為 AC= CB
A'(AC) = (A'A)C = IC = C = A'(CB)
同理, CB=AC , (CB)B' = ACB' , C = ACB'
故 (1)(2)
因為 det(A) ≠ 0 , A' 存在 ;
A'(AAA- AA) = A'A , (A'A)AA - (A'A)A = I , AA - A = I applying A' again to both sides , we can get A'(AA-A) = A'I , (A'A)A - A'A = A' , IA- I = A' , A - I = A' ; 換句話說, 找一個 expression 可以使得A'A= I
8. 可乘開, 及求 det(A) = det(B)det(C) ; 然後再比較a,b,c,d
AX size為2*3 , 故假設 X = [a b c d e f] , 乘開比較項目, 求 a,b,c,d,e,f
10. 某地區有甲、乙兩超市，據調查每月甲超市留有 80%的顧客，20%轉向乙超市；乙超市留有 40%的顧客，60%轉向甲超市。若目前甲、乙兩超市的占有率分別為 30%及 70%，且顧客的總人數不變。
(1) 寫出市場占有率的轉移矩陣。
(2) 下一個月時甲超市的占有率為何？
(3) 若超市會趨於穩定，則在穩定狀態下甲超市的占有率為何？
det(A) > 0 , A' 存在 ; A'A = I .
APA' = B , A'(APA') = A'B , A'A(PA') = A'B , PA' = A'B , (PA')A = A'BA , P = A'BA
PP = (A'BA)(A'BA) = A'B(AA')BA = A'BIBA= A'BBA ...
可推論, P^n = A'B^nA .
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