◎認識有理數，能將有理數化成有限小數或循環小數。
◎能在數線上標出給定的有理數。
◎了解有理數稠密性的意義。
◎認識無理數。
◎能作根式化簡。
◎了解實數的運算與次序關係。
◎了解實數系的組成關係。
◎對文字符號所組成的代數式能進行展開、分解及化簡等形式運算。
一、自然數：最早認識的是計物數1，2，3，…等稱為自然數或正整數。
Wiki 自然數
二、有理數：數學上，凡是可以表示成分數形式的數都稱為有理數。
Wiki 有理數
◎定義：可以表示成 q/p 的數，稱為有理數，其中 p，q為整數，且 p ≠ 0。
【觀念釐清】
(1)所有的整數都是有理數，因為任何一個整數n都可以寫成 n/1 。
(2)有理數的表示方法並不是唯一的，例如 1/2 = 2/4 = 3/6 = ...= 等。
◎有理數的封閉性：任意兩個有理數作加、減、乘、除(除數≠ 0)運算後仍然是有理數。
假設有兩個有理數 a , b 且 a = p/q , b = n/m ; p,q,n,m 皆為整數 , qm ≠ 0 .
a + b = p/q + n/m = pm+qn / qm ∈ Q , pm+qn 為整數 ; 即有理數加法滿足封閉性.
a - b = p/q - n/m = pm - nq / qm ∈ Q , pm - nq ∈ Z , qm ≠ 0 ; 即有理數減法滿足封閉性.
a * b = p/q * n/m = pn / qm ∈ Q , pn ∈ Z , qm ≠ 0 ; 即有理數乘法滿足封閉性.
a/b = (p/q) / (n/m) = p/q * m/n = pm/qn ; pm , qn ∈ Z ; 即有理數除法滿足封閉性. 考慮 0/0 形式 , 依照定義, 此形式仍是有理數.
練習 1：將下列各數化成小數。(1) 13/40 (2) 15 /11。
(1) (2) 法1: 使用除法. 法2 : 先嘗試看看分子母是否有因數可分解之, 消去約分即可簡化除法.
【觀念釐清】(1)利用除法可將有理數化成有限小數或循環小數。
15/11 化成小數的過程中，當餘數重複出現時，商也會重複出現，而形成循環 小數。因為除數是 11，餘數只可能是0,1,2, ,10 " 之中的一數，表示最多 11次運算， 就會出現與前面運算時重複的餘數。
餘數重複出現時，商也會重複出現 , why ? 原因是餘數 ≠ 0 且又再次出現的數字與之前的數為一樣,則又是一個循環的開始.所以,餘數開始出現時,其商也會開始與前者一樣出現循環.
(3) 分母的質因數只有2或5的最簡分數一定可以化成有限小數, why ? 如果是最簡分數, 則為分子母互質; p/q , g.c.d(p,q) = 1 , q ≠ 0 . 如果分母是2 ,則成為最簡分數時,其分子只有一種可能就是1.1/2 = 0.5 , 如果是5的話, 就有1,2,3,4四種可能, 2/5 = 0.4 , 3/5 = 0.6 , 4/5 = 0.8 所以,這些皆可化成有限小數.
(4) 有理數就是整數、有限小數或循環小數。
(5) 不循環的無限小數都是無理數。Wiki 無理數
若a，b，c為 0到 9的整數，則
(1) 0.aaa ... , Let x = 0.aaa ... , then 10x = a.aaa ... = a + 0.aaa ... = a + x
9x = a , x = a/9
(2) 0.abababab ... , Let x = 0.ababab ... , 100x = ab.abab....
100x = ab + x
99x = ab
x = ab /99
(3) 0.abbbbbbb .... (只b循環) , Let x = 0.abbbbbbb .... 10x = a.bbb ...
100x = ab.bbb ... 100x - 10x = ab.bbb .... - a.bbbb... = 90x = ab -a
90x = 10a + b - a
90x = 9a + b
x = ( 9a + b ) / 90 = a/10 + b / 90
(4) 0.abcbcbc ... , Let x = 0.abcbcbc... , 10x = a.bcbcbc ... 1000x = abc.bcbcbc...
1000x - 10x = abc.bcbcbc ... - a.bcbcbc... =
990x = abc - a
990x = 100a + 10b + c - a
x = 100a/990 + 10b/990 + (c-a)/990
= 10a/99 + b/99 + c-a/990
(5) 0.abccc ... , Let x = 0.abcccc ... , 10x = a.bcccc ...
100x = ab.cccc ...
1000x = abc.ccc ...
1000x - 100x = abc -ab , 900x = 100a+10b+ c - 10a - b
x = a/9 + (b-a)/90 + c-b/900
【觀念釐清】
一個循環節，分母寫一個 9，兩個循環節，分母寫兩個9，以此類推，不循環的寫0；分子為全部的數減去不循環的數 .
練習 2：將有理數 3/8 與 1/7 化成小數
Ans：0.375；0.(142857)'
◎有理點：因為相似三角形邊長成比例，可在數線上找出與每個有理數一一對應的點 .
如下的做圖法 :
作圖法原則, 首先, 在一個數線L上畫出等單位長的四個點0,1,2,3,4. 由0視為原點, 劃出一條線M,且M與L有個夾角θ , 0º < θ < 90º (此角盡可能為45º, 因為這樣作圖為方便) ; 然後在直線P上取三等份單位並做註記 , 做註記到第三點座標時,並尤其點繪一條線接到線L上點4,假設為 PQ如上圖. 然後再由直線M上第一點做一條直線AB與PQ平行且交於直線L上一點B. 則OB的長度為所求.
練習 3：在數線上標出代表 -5/4 的點。
◎整數的離散性：數線上，兩連續整數間並不存在其他整數 , 整數的離散性:兩相異整數之間最小距離 = 1 .
定義 :
集合S，若S中的每一個元素s，存在他(s)的一個鄰域N(s,r)除了s外之不包含其他S中之元素，則稱集合S 離散
N(s,r) = (s-r, s+r) 為一個開區間
◎ 有理數的稠密性：任意兩個相異有理數之間，至少有一個有理數存在. 例如 (a+b) /2 。
三、無理數：數線上，不是有理數的數稱為無理數 .
證明: √2 是無理數
證:
使用反證法 , 假設 √2 是有理數 , 即可以寫成 p/q 的形式 ; p,q 互質 且 q ≠ 0 .
令 √2 = p/q , 兩邊平方得 2 = (p/q)2 , 2q2 = p2
p2 為完全平方數 , 但 2q2 非完全平方數 why ?
因為 2q2 此非完全平方數 (為 2 * q2 為 兩數相乘, 2 本身非完全平方數 ) .
其餘詳見 - 根號2非有理數
◎ 性質：設 a，b，c，d是有理數，√e 是無理數，則
(1) 若 a + b√e = 0，則 a = b = 0
(2) 若 a + b√e =c + d√e ，則a = c 且b = d 。
證 :
(1) 證明思維方向還是一樣 , 假設 √e 是有理數 , 在此命題中 a + b√e = 0 為 充分條件, 而 a = b = 0 為必要條件 , 故 P ⇒ Q . 利用逆命題 ~ Q ⇒ ~ P
若 b ≠ 0 , 則 √e = - a / b 為有理數 , 矛盾. 所以 b = 0 ⇒ a = 0 .
(2) 觀察 a + b√e = c + d√e
a - c = d√e - b√e
(a - c) + (b - d)√e = 0
同樣以(1)法證明之 .
練習 5：已知a，b是有理數，且(2 - √2 )a + 5b√2 = 4 + 3√2 ，求 a，b 的值。
解這種題目,基本上將有理數的部分聚集起來, 無理數的部分也聚集起來; 然後,在比較其係數.
2a + (5b - a )√2 = 4 + 3√2 , 2a = 4 , a = 2 代入 5b - 2 = 3 , b = 1 .
練習 6：已知a，b是有理數，且a(3 +√2 ) + b(1 - 2√2 ) + 7√2 = 0 ，求a，b的值。
同理,將有理跟無理數分群,然後再比較係數.
3a + b = 0
a - 2b = -7
7a = - 7 , a = -1 帶回得 b = 3
◎平方根的尺規作圖：(可利用畢氏定理作出無理數在數線上的位置)
【觀念釐清】
1. 設n為正整數，若 n 不是完全平方數，則 √n 就是無理數。why ?
2. 當n為較大自然數時，可用相似三角形的比例性質求長為 n 的線段。
◎複習：(相似三角形的比例性質)
【觀念釐清】除了平方根之外，還有些無理數，如2^1/3 (2的三次方根)、圓周率 π…等，都無法用上述 的方法在數線上標出位置，只能透過計算器估算其近似值
練習 8：化簡下列各式：(1) √18 − √8 (2) (√3 +√2 )(√3 -√2 )。
(1) 3√2 - 2√2 = √2
(2)乘開化簡
練習 9：化簡下列各式：(1) √12 + √48 − √27 ；(2) (√6 + √2)2 + (√6 - √2)2
(1) √3 的因子
(2) (a+ b)2 - 2ab = (2√6)2 - 2(√6 + √2)(√6 - √2) = 4*6 - 2*(6-2) = 24 - 2*4 = 16
◎ 分母的有理化：將根式的分母化成不含根號之有理數的過程。
練習 10：化簡下列各式
(1) 將分母有理化
(2) 分母乘上一個對稱的無理因式
(3) 分母乘上一個對稱的無理因式
練習 12：
(1) 2+1 = 3
(2) 2+5 = 7
(3) 6 + 2 = 8
【觀念釐清】不是每個雙重根式都可以化簡成 a ± b 的型態。
◎無理數的近似值：(十分逼近法；直式開方法 [改良版，神奇的 20])
常用的根號數： 2^1/2 ≈ 1.414 ； 3^1/2 ≈ 1.732 ； 5^1/2 ≈ 2.236 。(自行驗算)
練習 14：求 10的近似值(以無條件捨去法求至小數第一位)。
√10 = √2*5 = √2 * √5
練習 15：若 a = √5 +√2 則a在哪兩個連續整數之間？
7 + 2√10 = 7 + 2*3.1 = 7 + 6.2 = 13
12 < 13 < 14
2√3 < √13 < √16
2*1.732 = 3.464 < √13 < 4
練習 16：
3 = 1+(√2)2 , a = 1, b = √2 .
◎ 實數的大小次序關係：(在數線上，越往右邊的點所對應的實數越大)
設 a，b，c 是任意實數，則
(1) 三一律：a < b ，a = b ，a > b 三式中恰有一個成立。
(2) 遞移律：若 a < b 且 b < c，則 a < c。
(3) 不等量加法：若 a < b ，則 a + c < b + c 。
(4) 不等量乘法：若 a < b 且 c > 0，則 ac < bc ；若 a < b 且 c < 0，則 ac > bc 。
◎ 絕對值：(1) 數線上所有的點都對應到一實數，稱作這點的坐標
若點P的坐標為x，以 x (讀做「x的絕對值」)來表示P與原點的距離。( x ≥ 0)
(2) 若點A與點B的坐標分別為a與b，則A與B的距離AB = |a-b|。
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