2−2 多項式的運算與應用

2−2 多項式的運算與應用

2-2多項式的運算與應用

◎ 能了解多項式及其相關名詞的意義。
◎ 能熟練多項式的四則運算。
◎ 能熟練分離係數法及綜合除法的運算。
◎ 能了解多項式的除法定理及其應用。
◎ 能了解餘式定理及其應用。
◎ 能了解牛頓定理及其應用。
◎ 能了解插值多項式及其應用。

一、多項式的基本觀念：(用數及符號經過加、減、乘運算所形成的式子稱為多項式。)
◎定義：

◎基本概念：

【觀念釐清】
 (1) 當多項式 f(x) 只有一個非零常數項a0時，稱 f(x) 為零次多項式。 ( 因為只有一項且x的次數只有 0 ) 
 (2)  0也是一個多項式，稱為零多項式，但不規定它的次數。
 (3) 零次多項式與零多項式統稱為常數多項式。
 (4) 多項式中的x不能在根號、絕對值、分母、指數(次方)，或其他函數裡。

◎多項式的降次排列與升次排列：
將多項式的每一項，按照x的次方，由高而低的排列稱為降次排列(或稱降冪排列)；由低而高的排列 稱為升次排列(或稱升冪排列)。

    練習 1：

   觀察一下 , 4次項係數為 -2 , 無3次項, 故係數為 0 , 常數項即x的次方為0 , 故係數為 5 .
   降冪自己降.

◎多項式的相等：當多項式 f(x) 與g(x)的「次數相等」且「同次項的係數都相等」時，稱 f(x )與g(x) 相等，並以 f(x) = g(x) 表示。 或是可以說兩式相減為0 .

練習 2：

相同項次,比較係數. b = 0 , a = -2 , d = 5 .

練習 3：

解法同上.


【觀念釐清】當兩多項式相等時，無論x為任何數，它們的值都相等。

二、多項式的四則運算：


◎多項式的加法與減法：兩多項式相加減，就是把同次項的係數相加減。

練習 4：

【觀念釐清】

 兩非零多項式若次數不相等，則相加或相減後，次數等於原來較高者；若次數相等，則相加
 或相減後，次數有可能降低(消去最高次項時)。
就由高冪次向低冪次排列, 同冪次的項目,其係數相加減, 缺項的補零.