定積分與反導函數

定積分與反導函數

定積分與反導函數

(甲) 曲線下面積的求法

R = ∫f(x)dx , x ∈ [0,1] 

∫f(x)dx = ∫x ² dx = 1/3x ³  

R = 1/3x ³   , x ∈ [0,1]  = 1/3(1-0)= 1/3  

(1) 分成四等分, 每等分 (4-2)/4 = 1/2 . 假設 a = 2 , b = 4 ; 則 x1 = 2+1/2 = 5/2 , x2 = 5/2 + 1/2 = 3 , x3 = 3+1/2 = 7/2 , b = 4 . 故有 [a,x1],[x1,x2],[x2,x3],[x3,b] 四個區間. 
f(a) = 4 
f(x1) = 25/4 
f(x2) = 9 
f(x3) = 49/4 
f(b) = 16 
下和 = f(a)*1/2 + f(x1)*1/2+f(x2)*1/2+f(x3)*1/2 = 1/2 [ f(a)+ f(x1)+f(x2)+f(x3) ] 
= 1/2 [ 4+25/4+9+49/4] = 1/2 [13 + 25/4 + 49/4 ] = 1/2 [ 13 + 74/4 ] =  63/ 4 
上和 = f(x1)*1/2+f(x2)*1/2+f(x3)*1/2 + f(b)*1/2 = 1/2 [ 25/4+9+49/4+16 ] = 1/2 [ 74/4 + 25] = 87/ 4 

(2) 同上題,若在[2,4] 中又分成n等分, 每等分為 4-2/n = 2/n , 故其中點為 x1 = 2+2/n = 2(1+1/n), x2 = 2+2/n+2/n = 2(1+1/n+1/n) =2(1+2/n)  , x3 =2(1+3/n) , ... , xn-1 = 2(1+(n-1)/n) , b = 4. 

下和 = (4-2)/n [ 2 + 2+2/n + ... + 2(1+(n-1)/n)  ] = Answers 

其餘自行計算. 

(乙) 定積分的性質

(1) 假設 h(x) = f(x) - g(x) , 將[a,b]區間分為n等分,每等分為 (b-a)/n 大小. 

      使用黎曼積分原理,分別求上和及下和即可. 

(2)  ∫c∙f(x)dx = ∫[f(x)+f(x)+ ... + f(x)]dx = ∫f(x) dx + ∫f(x) dx + 

                                      \____ c times ______/  

∫f(x) dx + ...+∫f(x) dx  = c ∫f(x) dx