1−1 負數與數線

1−1 負數與數線

1-1負數與數線

◎ 能以「正、負」表徵生活中相對的量，並認識負數是性質(方向、盈虧)的相反。
◎ 能認識負數在數線上的位置，並在數線上操作簡單的描點。
◎ 能認識相反數及其在數線上的相對位置。
◎ 能在數線上判別數的大小。
◎ 能在脫離數線的情況下，判斷正、負數的大小。
◎ 能舉例說明數量大小關係的性質：三一律與遞移律。
◎ 能認識絕對值的符號，並理解絕對值在數線上的圖意。


一、正數與負數：(正數：比0 大的數；負數：比0 小的數；0 不是正數，也不是負數。)

因為定義 0 為無, 所以負數是代表少於無的一個量, 所以定義 負數比0小; 也就是說 , 任何一個負數加一個等同的數量,則還原為 0 . 以數線觀念來說 , 負數為0的左邊的數量; 正數為0右邊的數量. 通常正數前都不加 "+" 號. 但是為區隔正負數,負數要加"-" 號以便區隔.

一些例子:

 (1)溫度：用「－」號來表示零度以下的氣溫。例如：−3°C 就是零下3°C 。(比 0 度還要低 3 度)
 (2)方向：如果東邊為正向，以「＋」來表示、則西邊為負向，以「－」來表示。
 (3)海平面：如果以海平面為基準，高於海平面以「＋」來表示，則低於海平面以「－」來表示。
 (4)成績：如果以60 分為基準，成績比 60 分高 5 分，記為＋5 分；比 60 分低 2 分，記為－2 分。


練習 1：如果體重增加以「＋」號表示，體重減少以「－」號表示。

(1) 胖了 5公斤，應該怎麼記？瘦了 6 公斤，應該怎麼記？
(2) 如果體重從 88 公斤變成 80 公斤，則體重的變化應該怎麼記？

(1)  胖了 5公斤 , 代表體重增加 , 故以  +5 表示之. 瘦6公斤 ,代表體重減少了 , 故以  - 6 表示之.
(2)  如果體重從 88 公斤變成 80 公斤 , 代表體重減少 ; 即 88 - 80 = 8 , 少了 8 公斤, 故以  - 8 表示之.

【觀念釐清】
 (1) 0不是正數，也不是負數。
 (2)當「＋」、「－」是用來表示一個數的正負，則將這兩個符號稱為性質符號。(也就是說,符號說明一個數的正,負; 也就是說其用來描述一個數的相較於0的性質) 
(3)當「＋」、「－」用來表示加減運算時，則稱這兩個符號為運算符號 (也就是說 , 
任意個數之間做運算時,其間加減運算,就用 + , - 表示之 .

◎ 性質符號相同的數稱為同號數。例：＋6和＋8、－7 和－2 都是同號數。
◎ 性質符號相異的數稱為異號數，例：＋3和－6、－5 和＋9 都是異號數。

【觀念釐清】
 習慣上，可將正數前面的性質符號「＋」省略不寫，例：＋3 寫成 3，＋1.8 寫成 1.8，但數
 前面的性質符號「－」則不能省略。

◎正整數(或自然數)：在正數中，像 1、2、3、…這樣的數。
◎負整數：在負數中，像－1、－2、－3、、…這樣的數。

整數系 : 正整數（例如1、2、3）、負整數（例如−1、−2、−3）與零（0）合起來統稱為整數 . 
wiki 整數

練習 2：下列哪些數與－2.4 是同號數？ 哪些數與－2.4 是異號數？
1.5、－5/2 、38、0、－21、19

1.5 , 38 , 19 皆為同號數 , 亦為正數 ; 但1.5非正整數 .

-5/2 , -21 為負數 , 以上所有的正數與-2.4 互為異號數 .

二、數線：(包含原點、正向與單位長)

首先，在一條水平的直線上，任取一點當作基準點，這基準點就是原點，通常以「O」點來表示，代表數字 0。其次，在這條直線右邊畫一個箭頭表示正向，而與箭頭相反的方向就是負向。最後取一個適當的長度當作單位長。

【說明】如下圖，以原點 O為起點，在右方 1個單位長的點標示為1，右方 2 個單位長的點標示為 2，右方 3 個單位長的點標示為 3，…。反過來，以原點O為起點，在左方1個單位長的點標示為－1，左方 2 個單位長的點標示為－2，…，則這條直線就稱為數線。

◎坐標：如下圖，如果數線上一點A在原點右邊 2 個單位長的地方，則 A點所表示的數是 2，或說A點的坐標是 2，記為 A(2)。同樣的，如果數線上一點B在原點左邊 4 個單位長的地方， 

 則 B點所表示的數是－4，或說 B點的坐標是－4，記為 B(－4)。

練習3：寫出下面數線上 C、D、E三點的坐標。

C(3) , D(-1) , E(-3) 

練習 4：畫一條數線，並標示出 A(4)、B(－5)的位置。 

略

練習 5：畫一條數線，並分別標示出表示 3 與－2 的點。

略

練習 6：畫一條數線，並標示出 A(1.7)、B(－25/7 ) 的位置。  

略

【觀念釐清】

 數線上的每一個點都有一個坐標，可以用這個坐標來代表這個點。原點表示的數是 0， 

 而在原點右邊的點所表示的數就是正數，在原點左邊的點所表示的數就是負數。 

 反過來說，給定一個數，也可以在數線上找到一個點來表示它。 


三、數的大小：
 (1) 在數線上任取兩點，右邊的點所表示的數比左邊的大。 (越往右越大) 
 (2) 表示正數的點都在原點右邊，表示負數的點都在原點左邊，所以正數大於負數。 

 (3)  1是最小的正整數；－1 是最大的負整數。 

【說明】0 大於所有的負數。即…－3 ＜－2 ＜－1 ＜0 ＜1 ＜2 ＜3 ＜…。 0 也可以說是正數與負數的分界點.  

◎三一律：對於任意兩數 a、b的大小關係，下列三種關係恰有一種成立：a＞b、a＜b、a＝b。 

【說明】在數線上，A(a)、B(b)兩點的位置關係，必定是下列三種關係中的一種： 

練習 9：有一數 a，甲說：「a ＞－3/4 。」乙說：「a＜－3/4 。」如果兩人都說錯了，則 a 應該是多少？
由三一律, 任何兩數 a ,b ; 只有三種關係 a > b , a < b or a = b . 所以 只有一種可能就是 a= -3/4 .

◎遞移律：比較 a、b、c 三數的大小關係時：
   (1)若 a＞b 且 b＞c，則 a＞c。
   (2)若 a＜b 且 b＜c，則 a＜c。
   (3)若 a＝b且 b＝c，則 a＝c。

   證明 :
  (1) 由已知 , a > b , b > c ; 則 a ,b ,c 三者之間必存在兩個正數 p, q  使得 p + b = a  , q+c = b .
        則　p + q+ c = a , 因為 p, q 都是正數, 所以 a > c .
  (2) 同上.
  (3) a = b , b = c 則　a - b = 0 , b - c = 0 則 a  -c = 0 , a = c

【說明】
  (1)如果A點在B點的右邊，B點在 C點的右邊，那 A點一定在 C點的右邊，也就是說若 a＞b       且 b＞c，則 a＞c。

(2)如果 A點在 B點的左邊，B點在 C點的左邊，那A點一定在 C點的左邊， 

 也就是說若 a＜b 且 b＜c，則 a＜c。 

(3)如果 A點與B點重合，B點與C 點重合，那 A點與 C點重合， 

 也就是說，若 a＝b 且 b＝c，則 a＝c。 

四、相反數與絕對值：

◎相反數：

(1)在原點的左右兩邊，且與原點的距離相等的兩個點，所表示的兩個數互為相反數。

(2)相反數的數字部分相同，性質符號不同。

(3)若a是不為 0 的任意數，則－a是 a 的相反數，且－(－a)＝a。

(4) 0的相反數是0。

【說明】

  (1) 在數線上，A(－4)、B(4)兩點分別位於原點的左右兩邊，且與原點的距離都是 4。

(2) －4和4，數字部分都是4，只有性質符號不同，像這樣的一組數，就稱它們互為相反數。也可以說，4 的相反數是－4，－4 的相反數是 4。例如：－2.7 和 2.7 互為相反數。 

(3) 在正數前面加上「－」號，就是這個正數的相反數；同樣的，在負數前面加上「－」號，就是這個負數的相反數。因為 4 也是(－4)的相反數，所以－(－4)＝4。也就是說，不管 a 是正數或是負數，－a 都是 a 的相反數，因此－(－a)＝a。 

(4) 另外，0不是正數也不是負數，我們規定，0 的相反數是 0。 

練習10：分別寫出－2.5 與 17/5 的相反數 

-2.5  相反數 2.5 

17/5 相反數 -17/5 

練習 11：阿誠：「A(－4)和 B(6)這兩點與 C(1)的距離都是5 個單位長，所以－4是6的相反數。」 請問阿誠的說法正確嗎？為什麼？

錯, 相反數必須以原點為中心. 向左向右都相等的單位長. 

◎絕對值：在數線上，如果不考慮方向，只考慮一個數所代表的點與原點之間的距離，就稱為這個數的絕對值。用｜a｜來表示 a 的絕對值，例如：｜4｜＝4，｜－5｜＝5。

【說明】

 A(5)與原點的距離是 5，則 5 的絕對值是 5；B(－5)與原點的距離是5，則－5的絕對值是5。

如果不看性質符號，只看數字部分，這個數字部分剛好會是這個數在數線上所代表的點與原點之間的距離，也就是這個數的絕對值，例如：－2.7 的絕對值是 2.7，0的絕對值是0。 

練習 13：(1) 有沒有絕對值等於－3的數呢？ 

                  (2) 如果兩數是相反數，這兩個數的絕對值會相等嗎？ 

(1) of course not. 因為任何數的絕對值所得的數只有一個結果,就是正數. 

(2) of course. 因為兩數互為相反數,其只有一個不同之處,就是性質符號; 絕對值的一個目的可以視為取該數的數量.故兩數互為相反數的絕對值必相等. 

練習 14：分別寫出－3 和－9 的絕對值，並比較這兩數絕對值的大小。

|-3| = 3 , |-9| = 9 , 9 > 3 所以  |-9| > |-3|