1−2 二項分布
◎了解獨立事件、重複試驗與二項分布的性質。
◎了解何謂伯努利試驗。
◎了解二項分布的機率。
◎了解二項分布的數學期望值及意義。
◎能繪出二項分布的圖形。
一、獨立事件與重複試驗：
◎ 獨立事件：對兩事件A與B，當事件B發生的機率不因事件A的發生與否而受到影響時，稱具有這樣 特性的兩事件為獨立事件。此兩事件都發生的機率為 P(A∩B) = P(A)⋅P(B)。
Why ? For example , we toss two coins c1 , c2 twice . First time , we toss c1 and second time we toss c2 . Analysis their outcomes :
c1 :
H,T
c2 :
H,T
(H,H) (H,T)
(T,H) (T,T)
兩次有出現head (正面)的機率為 2/4 = 1/2 , 兩次有出現trail (反面)的機率為 2/4 = 1/2 ; 但連續出現head 兩次的機率為 1/4 = 1/2 * 1/2 ( 即第一次(c1)出現head 的機率為 1/2 , 第二次(c2)出現head 的機率為 1/2 )
◎重複試驗：一個試驗若為重複做多次的獨立試驗，稱為重複試驗。
(1)連續丟一枚硬幣10次。(重複做一樣的動作)
(2)從袋中兩色球中每次取出一球，取後均放回，連取 5次。
(3)同時擲兩個骰子100次。
要計算重複試驗的機率，只要算出其對應的個別機率再相乘即可。 如上題 :
(1) 問連續丟10次, 出現10次正面的機率為多少 ?
每次丟擲正反皆為1/2 機率 , 所以 10次皆為正面的機率為 (1/2)10
(2) 每次取一球,其機率皆為1/2 , 故連取5次為 ?
(3) 同時擲兩個骰子100次,其出現數字為3的機率為 ?
(1/6)(1/6)(1/6)(1/6) ... (1/6)
練習 1：盒中有 6張大小相同的卡片，分別標示號碼1，2，2，3，3，3。今從中一次取出一張，取完都再放回，連取三次。求
(1) 連續三次都取出 1的機率。
(2) 三次的總和為 6的機率。
(1) 盒中有六張cards , 但是其號碼只有1,2,3三種 ; 1號 有 1 張, 2 號有2張 , 3號有3張. 如果不分號碼的話, 每張card 的 機率皆同 1/6 . 但如果連取3次為1號的為 1/6 *1/6 *1/6 = 1/216
那為 2 的號碼 ? 1/6 * 1/6 * 1/6 (為第一張2號card) , 1/6*1/6*1/6 (為第二張2號card) ; 這兩張card 式互斥的事件故 2/216 = 1/108 機率. 同理, 3號亦然.
(2) 取三次,總和為6 的組合為 :
1+2+3 , 2+2+2 , 3+2+1 , 3+1+2 , 2+1+3 , 2+3+1 ,1+3+2 7種.
1/6*2/6*3/6 = 2*3/216 = 6/216 = 1/36 * 6 = 1/6 (其中 1,2,3 有六種組合)
2/6*2/6*2/6 = 8/216 = 1/27
所以 1/6 + 1/27 = 11 / 54
練習 2：阿呆上學時須經過三處路口，在三處路口遇到紅燈的機率依次為0.4，0.4，0.6。設此三處的紅綠燈號誌均互相獨立。 求阿呆上學時
(1)接連遇到三個紅燈的機率。
(2)最多只遇到一次紅燈的機率。
(1) R-R-R
第一次 紅燈機率為 P(R) = 0.4 , 綠燈機率為 P(G) = 0.6 .
第二次 紅燈機率為 P(R) = 0.4 , 綠燈機率為P(G) = 0.6 .
第三次 紅燈機率為 P(R) = 0.6 , 綠燈機率為 P(G) = 0.4 .
所以, 為 0.4 * 0.4 * 0.6 = 16*6 / 1000 = 96 / 1000
(2) 最多只遇到一次紅燈 , 可能的組合為:
R-G-G , G-G-R , G-R-G, G-G-G 四種
0.4*0.6*0.4 = 96 /1000
0.6*0.6*0.6= 216/ 1000
0.6*0.4*0.4 = 96/1000
0.6*0.6*0.4 = 144/1000
所以為 144 + 192 + 216 / 1000 = 552 / 1000 = 0.552
二、二項分布：
◎伯努利試驗：指只有兩種可能結果的實驗，通常把這兩種結果分別叫做「成功」及「失敗」。例如：
(1)丟一枚硬幣，把丟出正面叫做成功，丟出反面叫做失敗。
(2)籃球罰球，把罰進叫做成功，不進叫做失敗。
在伯努利試驗中，如果成功的機率為 p，那麼失敗的機率為1− p。
【觀念釐清】許多的試驗都可以看成是重複多次的伯努利試驗，例如：丟一枚硬幣20次或罰球5次。
重複試驗都具有下列的特徵：(1)每次試驗都互不影響。(2)每次試驗成功的機率均相等
練習 3：設阿丁在籃球賽中罰球的命中率為2/5。在每次罰球的結果都是獨立的情形下，求阿丁5次罰球中恰投中 2次的機率。
罰球命中率 2/5
恰投中2次的組合共有
5!/2!3! = 5*4*3!/3!*2! = 20/2! = 10 種
2/5*2/5*3/5*3/5*3/5 = 4/25 * 27 / 125 = 108 / 5*625
10 * 108 / 5*625 = 216/ 625
練習 4：丟一均勻的硬幣7次，求恰出現 4次正面的機率。
當我們每丟一次coin 則指只會出現 head / trail 兩種outcomes.
如果丟coin七次, 恰4次正面的組合有 :
H,H,H,H,T,T,T
H,T,H,H,H,T,T
H,H,H,T,T,T,H
...
即為 7! /4!3! 種組合, 7*6*5*4!/ 4!*3! = 7*6*5/ 3*2*1 = 35 種
出現正面4次的機率為 1/2*1/2*1/2*1/2 *(1/2*1/2*1/2) = 1/128
故 35 * 1/128 = 35 / 128
◎ 二項分布：設一個伯努利試驗中成功的機率為 p，0 ≤ p ≤ 1。
若重複此伯努利試驗 n次，且以隨機變數X 表示成功的次數，則 n次中成功 k次的機率為
這樣的機率分布稱為參數是 (n,p) 的二項分布，以X ～B(n,p) 表示 .
【說明】
練習 5：設某地下工廠生產的產品是不良品的機率高達1/3，今隨機抽樣 6件產品，求
(1) 抽中 4件不良品的機率。
(2) 至少抽中 4件不良品的機率。
(1) 假設不良品機率是 p ; 由題意知道 , p = 1/3 , 則良品機率為 1- p = 1- 1/3 = 2/3 .
由二項分布 , P ( X = 4 ) = 6C4 p4(1-p)2
練習 1：盒中有 6張大小相同的卡片，分別標示號碼1，2，2，3，3，3。今從中一次取出一張，取完都再放回，連取三次。求
(1) 連續三次都取出 1的機率。
(2) 三次的總和為 6的機率。
(1) 盒中有六張cards , 但是其號碼只有1,2,3三種 ; 1號 有 1 張, 2 號有2張 , 3號有3張. 如果不分號碼的話, 每張card 的 機率皆同 1/6 . 但如果連取3次為1號的為 1/6 *1/6 *1/6 = 1/216
那為 2 的號碼 ? 1/6 * 1/6 * 1/6 (為第一張2號card) , 1/6*1/6*1/6 (為第二張2號card) ; 這兩張card 式互斥的事件故 2/216 = 1/108 機率. 同理, 3號亦然.
(2) 取三次,總和為6 的組合為 :
1+2+3 , 2+2+2 , 3+2+1 , 3+1+2 , 2+1+3 , 2+3+1 ,1+3+2 7種.
1/6*2/6*3/6 = 2*3/216 = 6/216 = 1/36 * 6 = 1/6 (其中 1,2,3 有六種組合)
2/6*2/6*2/6 = 8/216 = 1/27
所以 1/6 + 1/27 = 11 / 54
練習 2：阿呆上學時須經過三處路口，在三處路口遇到紅燈的機率依次為0.4，0.4，0.6。設此三處的紅綠燈號誌均互相獨立。 求阿呆上學時
(1)接連遇到三個紅燈的機率。
(2)最多只遇到一次紅燈的機率。
(1) R-R-R
第一次 紅燈機率為 P(R) = 0.4 , 綠燈機率為 P(G) = 0.6 .
第二次 紅燈機率為 P(R) = 0.4 , 綠燈機率為P(G) = 0.6 .
第三次 紅燈機率為 P(R) = 0.6 , 綠燈機率為 P(G) = 0.4 .
所以, 為 0.4 * 0.4 * 0.6 = 16*6 / 1000 = 96 / 1000
(2) 最多只遇到一次紅燈 , 可能的組合為:
R-G-G , G-G-R , G-R-G, G-G-G 四種
0.4*0.6*0.4 = 96 /1000
0.6*0.6*0.6= 216/ 1000
0.6*0.4*0.4 = 96/1000
0.6*0.6*0.4 = 144/1000
所以為 144 + 192 + 216 / 1000 = 552 / 1000 = 0.552
二、二項分布：
◎伯努利試驗：指只有兩種可能結果的實驗，通常把這兩種結果分別叫做「成功」及「失敗」。例如：
(1)丟一枚硬幣，把丟出正面叫做成功，丟出反面叫做失敗。
(2)籃球罰球，把罰進叫做成功，不進叫做失敗。
在伯努利試驗中，如果成功的機率為 p，那麼失敗的機率為1− p。
【觀念釐清】許多的試驗都可以看成是重複多次的伯努利試驗，例如：丟一枚硬幣20次或罰球5次。
重複試驗都具有下列的特徵：(1)每次試驗都互不影響。(2)每次試驗成功的機率均相等
練習 3：設阿丁在籃球賽中罰球的命中率為2/5。在每次罰球的結果都是獨立的情形下，求阿丁5次罰球中恰投中 2次的機率。
罰球命中率 2/5
恰投中2次的組合共有
5!/2!3! = 5*4*3!/3!*2! = 20/2! = 10 種
2/5*2/5*3/5*3/5*3/5 = 4/25 * 27 / 125 = 108 / 5*625
10 * 108 / 5*625 = 216/ 625
練習 4：丟一均勻的硬幣7次，求恰出現 4次正面的機率。
當我們每丟一次coin 則指只會出現 head / trail 兩種outcomes.
如果丟coin七次, 恰4次正面的組合有 :
H,H,H,H,T,T,T
H,T,H,H,H,T,T
H,H,H,T,T,T,H
...
即為 7! /4!3! 種組合, 7*6*5*4!/ 4!*3! = 7*6*5/ 3*2*1 = 35 種
出現正面4次的機率為 1/2*1/2*1/2*1/2 *(1/2*1/2*1/2) = 1/128
故 35 * 1/128 = 35 / 128
◎ 二項分布：設一個伯努利試驗中成功的機率為 p，0 ≤ p ≤ 1。
若重複此伯努利試驗 n次，且以隨機變數X 表示成功的次數，則 n次中成功 k次的機率為
這樣的機率分布稱為參數是 (n,p) 的二項分布，以X ～B(n,p) 表示 .
【說明】
練習 5：設某地下工廠生產的產品是不良品的機率高達1/3，今隨機抽樣 6件產品，求
(1) 抽中 4件不良品的機率。
(2) 至少抽中 4件不良品的機率。
由二項分布 , P ( X = 4 ) = 6C4 p4(1-p)2
6C4 p4(1-p)2 = 6!/(2!4!) * (1/3)4* (2/3)2 = 20 / 243
(2) 至少抽中 4件不良品 , 即在6件產品有至少4件不良品的組合為 :
6C4 p4(1-p)2 + 6C5 p5(1-p)1 + 6C6 p6(1-p)0
= 20 / 243 + 6* (1/3)5 *(2/3) + (1/3)6
= 20 / 243 + 12/729 + 1/729 = 60 + 12 + 1/ 729 = 73/ 729
練習 6：設某人打靶的命中率為1/4，且每次打靶的結果是互相獨立的。此人朝同一個目標射擊5次，求
練習 6：設某人打靶的命中率為1/4，且每次打靶的結果是互相獨立的。此人朝同一個目標射擊5次，求
(1)靶面恰中 2發的機率。
(2)擊中靶面的次數不超過2次的機率。
(1) 打靶命中率為 1/4 . 射擊5次, 恰中2發的可能組合為 :
h: hit 擊中, m : miss 未擊中.
h,h,m,m,m 為其中一個 pattern 顧由組合方法數為:
5!/2!3! = 5*4 /2*1 = 10 種
10 * (1/4)2 * (3/4)3 = 270 / 1024 = 135 / 512
(2) 擊中靶面的次數不超過2次 , 即有可能的組合為 :
all miss , one hit , two hits . p = 1/4
5C0 p0(1-p)5 + 5C1 p1(1-p)4 + 5C2 p2(1-p)3
= 243 / 1024 + 5 * 1/4 * 81/ 256 + 10 * 1/16 * 27/64 = ( 243 + 405 + 270 )/ 1024 = 918 / 1024 = 459 / 512
(2)寫出彈珠落到各格子中的機率分別為多少？
(3)彈珠落到幾號格子機率最大？
(1) 由最頂端開始放,彈珠經過6排釘子, 由第一排釘子有一個 ,第2排釘子有2個, ..... 類推.
螞蟻走方格
Pascal's triangle
(2)
所以可看成一個 Pascal Triangle , 針對每個釘子都有兩種選擇(即對其下一排的釘子)
所以, 可以表示成 (y+x)(y+x) ...(y+x) 連6次乘積.
slot # 即代表x#係數, (y+x)6 = ∑ 6Ck xky6-k , k = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6
x 代表走左邊, y 代表走右邊 .
x0y6 係數 : 6C0 , 即全部走左邊 , 機率 = 1 * (1/2)6
(1) x1y5 係數 : 6C1 , 即5次走左邊,1次走右邊 , 機率 = 6 * (1/2)6
x2y4 係數 : 6C2 , 即4次走左邊,2次走右邊 , 機率 = 15 * (1/2)6
(3) x3y3 係數 : 6C3 , 即左右各走半 , 機率 = 20 * (1/2)6
x4y2 係數 : 6C4 , 即2次走左邊,4次走右邊 , 機率 = 15 * (1/2)6
x5y1 係數 : 6C5 , 即1次走左邊,5次走右邊 , 機率 = 6 * (1/2)6
h: hit 擊中, m : miss 未擊中.
h,h,m,m,m 為其中一個 pattern 顧由組合方法數為:
5!/2!3! = 5*4 /2*1 = 10 種
10 * (1/4)2 * (3/4)3 = 270 / 1024 = 135 / 512
(2) 擊中靶面的次數不超過2次 , 即有可能的組合為 :
all miss , one hit , two hits . p = 1/4
5C0 p0(1-p)5 + 5C1 p1(1-p)4 + 5C2 p2(1-p)3
= 243 / 1024 + 5 * 1/4 * 81/ 256 + 10 * 1/16 * 27/64 = ( 243 + 405 + 270 )/ 1024 = 918 / 1024 = 459 / 512
練習 7：右圖是一個彈珠臺，從上方放入一顆彈珠，彈珠每滑落撞擊到 釘柱時，會隨機的向左或向右落下而必撞擊到下一層的釘柱， 最後落到下方編號0到 6的格子中。若彈珠每次向左或向右落 下的機率相等，則
(1)彈珠落到 1號格子的機率是多少？ (2)寫出彈珠落到各格子中的機率分別為多少？
(3)彈珠落到幾號格子機率最大？(1) 由最頂端開始放,彈珠經過6排釘子, 由第一排釘子有一個 ,第2排釘子有2個, ..... 類推.
螞蟻走方格
Pascal's triangle
(2)
所以可看成一個 Pascal Triangle , 針對每個釘子都有兩種選擇(即對其下一排的釘子)
所以, 可以表示成 (y+x)(y+x) ...(y+x) 連6次乘積.
slot # 即代表x#係數, (y+x)6 = ∑ 6Ck xky6-k , k = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6
x 代表走左邊, y 代表走右邊 .
x0y6 係數 : 6C0 , 即全部走左邊 , 機率 = 1 * (1/2)6
(1) x1y5 係數 : 6C1 , 即5次走左邊,1次走右邊 , 機率 = 6 * (1/2)6
x2y4 係數 : 6C2 , 即4次走左邊,2次走右邊 , 機率 = 15 * (1/2)6
(3) x3y3 係數 : 6C3 , 即左右各走半 , 機率 = 20 * (1/2)6
x4y2 係數 : 6C4 , 即2次走左邊,4次走右邊 , 機率 = 15 * (1/2)6
x5y1 係數 : 6C5 , 即1次走左邊,5次走右邊 , 機率 = 6 * (1/2)6
x6y0 係數 : 6C6 , 即全部走右邊 , 機率 = 1 * (1/2)6
練習 8：設一枚不均勻的硬幣，其出現正面的機率為1/3，出現反面的機率為2/3。今丟擲此硬幣6次，令隨機變數X 表示正面出現的次數。
k = 6 , 沒有出現反面 ,全部正面. 機率 6C0 x6y0 , (1/3)6
三、二項分布的性質：
◎ 二項分布的期望值、變異數與標準差：
在參數是(, ) n p 的二項分布中(即重複做成功機率為 p的伯努利試驗n次)，若以隨機變數X 表示成功的次數，則X 的 (1)期望值E(X) = np (2) 變異數Var (X) = np(1-p) (3)標準差σ(X ) = √np(1-p) 。
期望值 Wiki
【說明】先考慮丟一枚均勻的硬幣 4次
設隨機變數X 表示正面出現的次數，根據二項分布，出現正面k次的機率為
再考慮一般情形中二項分布。
在一伯努利試驗中成功的機率為 p (0 ≤ p ≤ 1)，重複此試驗 n次，可計算出n次試驗中成功數的期望值與變異數分別為
練習 8：設一枚不均勻的硬幣，其出現正面的機率為1/3，出現反面的機率為2/3。今丟擲此硬幣6次，令隨機變數X 表示正面出現的次數。
(1) 求X 的機率分布。
(2) X 取值多少時機率最大？
(1) Coin 只有兩種outcome ,一是 head (正面) ,二是反面 (tail) . 假設P(h) = 1/3 = x , P(t) = 2/3 = y . 則按題意,丟6次則其機率分布多項式為 (y+x)6 = ∑ 6Ck xky6-k , k = 0,1,2,3,4,5,6 .
k = 0 , 沒有出現正面 ,全部反面. 機率 6C0 x0y6 , (2/3)6
k = 1 , 出現 1次正面 ,5次反面. 機率 6C1 x1y5 , 6*(1/3)(2/3)5
k = 4 , 出現 4次正面 ,2次反面. 機率 6C4 x4y2 , 15*(1/3)4(2/3)2
k = 5 , 出現 5次正面 ,1次反面. 機率 6C5 x5y1 , 6*(1/3)5(2/3)(1) Coin 只有兩種outcome ,一是 head (正面) ,二是反面 (tail) . 假設P(h) = 1/3 = x , P(t) = 2/3 = y . 則按題意,丟6次則其機率分布多項式為 (y+x)6 = ∑ 6Ck xky6-k , k = 0,1,2,3,4,5,6 .
k = 0 , 沒有出現正面 ,全部反面. 機率 6C0 x0y6 , (2/3)6
k = 1 , 出現 1次正面 ,5次反面. 機率 6C1 x1y5 , 6*(1/3)(2/3)5
k = 2 , 出現 2次正面 ,4次反面. 機率 6C2 x2y4 , 15*(1/3)2(2/3)4 ----- 240/729 (2)
k = 3 , 出現 3次正面 ,3次反面. 機率 6C3 x3y3 , 20*(1/3)3(2/3)3k = 4 , 出現 4次正面 ,2次反面. 機率 6C4 x4y2 , 15*(1/3)4(2/3)2
k = 6 , 沒有出現反面 ,全部正面. 機率 6C0 x6y0 , (1/3)6
三、二項分布的性質：
◎ 二項分布的期望值、變異數與標準差：
在參數是(, ) n p 的二項分布中(即重複做成功機率為 p的伯努利試驗n次)，若以隨機變數X 表示成功的次數，則X 的 (1)期望值E(X) = np (2) 變異數Var (X) = np(1-p) (3)標準差σ(X ) = √np(1-p) 。
期望值 Wiki
【說明】先考慮丟一枚均勻的硬幣 4次
設隨機變數X 表示正面出現的次數，根據二項分布，出現正面k次的機率為
可知一枚均勻硬幣出現正面的機率為1/2，丟此硬幣 4次，會出現 4×1/2 = 2 次正面。
在一伯努利試驗中成功的機率為 p (0 ≤ p ≤ 1)，重複此試驗 n次，可計算出n次試驗中成功數的期望值與變異數分別為
練習 9：丟一枚均勻的硬幣25次，求正面出現次數的期望值、變異數與標準差。
head appearance's times 為 25/2 次. E(X) = 25/2
Var(X) = np(1-p) = 25*1/2*(1-1/2) = 25/4
σ(X ) = Var(X)^1/2 = 5/2
練習 10：擲一個公正的骰子5次，以隨機變數X 表示出現6點的次數。求X 的期望值與標準差。
出現6點的次數機率為1/6 / 次 , 故 E(X) = 5/6 (5*1/6) , Var(X) = 5*1/6*(1-1/6) = 5/6*5/6 =25/36
σ(X ) = Var(X)^1/2 = 5/6
練習 11：重複丟兩枚均勻的硬幣 300次，以隨機變數X 表示兩枚硬幣都出現正面的次數，求X 的期望值與標準差。
n = 300 , H: times of head appearance ; 每擲一次可能出現的組合為 , HH, HT,T,H , TT ; 故有 4 combinations .
所以都出現正面的機會為1/4. 故 p = 1/4. E(X) = 300 * 1/4 = 75 , Var(X) = 300*1/4*(1-1/4) = 900/ 16 = 450/8 = 225/4 , σ(X ) = 15/2
練習 12： ：同時擲兩個公正的骰子30次，以隨機變數X 表示至少有一個出現 6點的次數。求X 的期望值與標準差。
Tossing two fair dices 30 times . 每次擲出可能的組合為 (1,2,3,4,5,6) 故有 36 種組合; 至少有一個出現 6點的組合為:
dice 1 點數: 1,2,3,4,5,6
dice 2 點數: 6,6,6,6,6,6 或
dice 1 點數: 6,6,6,6,6,6
dice 2 點數: 1,2,3,4,5,6
所以可能組合數 12 - 1 = 11 , E(X) = 30 * 11/36 = 330 /36 = 110/12 = 55/6
Var(X) = 30*11/36*(1-11/36) = 30*11/36 *25/36 = (55*25)/216 , σ(X ) = 5*(330)^1/2/36
◎二項分布的圖形：(將隨機變數X 的機率分布以長條圖表示，可得機率質量函數圖。)
考慮參數是(n,p)的二項分布，其機率質量函數圖的特性如下：
習題
1. 在重複丟一枚均勻硬幣 20次的試驗中，下列敘述何者是正確的？
(1) 可能出現 20次正面
(2) 恰出現10次正面的機率為1/2
(3) 出現6次正面的機率等於出現14次正面的機率
(4) 出現正面次數的期望值為10次
(1) 每次出現正面的機率為 (1/2)^20 ; 即 h,h,h,h,h,h,h,h,h,h,h,h,h,h,h,h,h,h
(2) 20 次中出現正面次數為10次的機率為 (1/2)^10
(3) why ? 即 20 個 location , 每個 location 即有兩種cases, h or t .若有6個 location 為 head ,則 14 個 location 為 Tail ; 故機率為 (1/2)^6 = 6 location 出現tail 的機率 = 14 location 出現 head 的機率 .
(4) 20*1/2 = 10
No comments:
Post a Comment